Аксиоматический подход в теории вероятностей

Аксиоматический подход в теории вероятностей был предложен академиком А. Н. Колмогоровым и базируется на таких понятиях, как пространство элементарных событий, выделенный в нём класс подмножеств, образующий поле событий .

Пространство элементарных событий (обозначается ) зависит от конкретного опыта (задачи) и может быть конечным, бесконечным дискретным или непрерывным. Оно представляет собой множество всех потенциально возможных случайных исходов, связанных с данным опытом. Так, в случае проведения опыта с броском игральной монеты пространство элементарных событий будет дискретным, состоящим из двух элементарных событий и , т.е. ,

где - появление “герба”, а - появление “цифры”. При проведении опыта с игральной костью пространство элементарных событий будет соответственно и т.д.

Само случайное событие, при аксиоматическом подходе, представляется как некоторое подмножество пространства элементарных событий.

Действия над случайными событиями в этом случае можно рассматривать как действия над подмножествами пространства элементарных событий.

Класс подмножеств пространства элементарных событий , замкнутый относительно операций объединения, пересечения и дополнения, а также содержащий множество , образует поле . Под вероятностью случайного события в этом случае понимается числовая функция, определённая на поле событий и обладающая следующими свойствами:

Аксиома 1. Вероятность события , принадлежащего полю ( ) равна .

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. .

Аксиома 3 (Аксиома конечной аддитивности ). Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Ø .

Аксиома . Если Ø, то

.

Тройка , в которой - пространство элементарных событий,

- поле случайных событий, а вероятность, удовлетворяющая аксиомам 1, 2, 3, 3', образует вероятностное пространство.

Аксиоматический подход в теории вероятностей позволяет с помощью аксиом и теорем представить основные закономерности поведения массовых случайных событий в более строгом математическом, наукообразном виде.

Однако результаты исследований при таком подходе, в некоторых случаях, труднее поддаются осмыслению и практической интерпретации.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события

и обозначается , или .

Для независимых случайных событий P(A) = P(A/B), для зависимых случайных событий P(A) P(A/B).

Теорема. Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

(1.2.7)

Докажем данную теорему для опыта, “сводящегося к схеме случаев”,

имеющего исходов. Предположим, что событию благоприятствуют исходов, событию благоприятствуют исходов, а одновременному наступлению события и события благоприятствуют исходов. Тогда

, , .

Событию благоприятствует исходов по условию, из которых только благоприятствует событию . Откуда условная вероятность события , найденная при условии, что событие произошло, будет равна

, а .

Следствие 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (1.2.8)

Теоремы могут быть обобщены на любое конечное число событий.

В задачах, в которых событие A может произойти только вместе с одним из других попарно несовместных, образующих полную группу случайных событий (гипотез), вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:

, (1.2.9)

а условные вероятности гипотез , определяемые при условии, что событие А уже произошло, находятся по формуле Байеса:

= , (1.2.10)

Формула полной вероятности (1.2.9) является следствием теоремы сложения и умножения вероятностей, а формула Байеса (1.2.10) – следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности.

Пример. Для повышения эффективности управления персоналом фирмы предполагается использовать одну из трёх информационных технологий:

- технологию с передачей управленческой информации по спутниковому каналу;

- технологию с передачей информации по почте;

- технологию, использующую оптико-волоконные каналы.

Вероятности использования на фирме указанных выше технологий известны и равны соответственно: 0,3; 0,4; 0,3. Вероятности повышения эффективности управления персоналом фирмы в зависимости от использования той или иной информационной технологии также известны и составляют соответственно: 0,3; 0,2; 0,5.

Известно, что одна из указанных технологий успешно используется в управлении персоналом фирмы.

Требуется найти вероятность того, что в системе управления персоналом фирмы используется третий вид информационной технологии [3].

Решение. Обозначим:

– случайное событие, состоящее в повышении эффективности управления персоналом фирмы;

- использование в системе управления фирмы для передачи информации спутниковых каналов;

- использование в системе управления для передачи информации почты ;

- использование в системе управления фирмы оптико-волоконных каналов.

гипотезы, вероятности которых равны:

.

Условная вероятность повышения эффективности системы управления персоналом фирмы при условии использования третьей информационной технологии будет равна по формуле Байеса:

.