Классическая формула вычисления вероятности

В простейшем случае, когда исходы опыта образуют полную группу несовместных равновозможных случайных событий (такими свойствами обычно обладают исходы опытов, проводимых на моделях из азартных игр), для вычисления вероятности интересующего нас события может быть использована классическая формула:

P(A) = , (1.2.1)

где P(A) – вероятность случайного события А;

– число исходов опыта, благоприятствующих появлению события А;

– общее число возможных исходов.

Она позволяет вычислить относительную долю исходов опыта, благоприятствующих появлению события .

Так как число благоприятствующих исходов опыта может принимать значения , то и вероятность случайного события , найденная по классической формуле, будет принадлежать отрезку .

Для невозможного события ни один из исходов опыта не будет благоприятствовать его появлению и его вероятность будет равна

.

Для достоверного события все возможных исходов опыта будут благоприятствовать появлению этого события и его вероятность будет равна

.

События, не являющиеся достоверными, будут иметь вероятности меньше единицы, так как число благоприятствующих им событий всегда меньше общего числа возможных исходов опыта .

Пример. При социологическом обследовании работающего населения города по проблемам занятости оказалось, что в одной из работающих бригад, состоящей из 12 человек, имеются 7 сезонных рабочих. Какова вероятность того, что из 5 случайно взятых из этой бригады человек 3 человека окажутся сезонными рабочими?

Решение. Обозначим через случайное событие, состоящее в том, что из 5 случайно взятых из бригады человек 3 окажутся сезонными рабочими?

Для нахождения вероятности случайного события используем классическую формулу, так как в данной задаче опыт состоит во взятии 5 случайных рабочих из бригады 12 человек, а исходы опыта образуют полную группу несовместных, равновозможных случайных событий. Общее число возможных исходов такого опыта равно , из

которых исходов благоприятствуют событию . От-

куда по классической формуле получим где

– число сочетаний из элементов по .

В том случае, когда исходы опыта не равновозможны, вероятность случайного события может быть найдена приближенно по результатам испытаний с помощью формулы относительной частоты ( статистической вероятности)

, (1.2.2)

где – число испытаний, в которых появилось событие ;

– общее число проведенных испытаний.

Основанием, позволяющим использовать относительную частоту вместо вероятности случайного события при большом числе испытаний, является теорема Бернулли (см. стр.37).

Для вычисления вероятностей сложных случайных событий используются следующие теоремы.

Теорема сложения вероятностей

При изучении случайных событий и моделировании экономических систем наряду с простыми элементарными событиями используются сложные, составные события, получаемые с помощью выполнения операций над ними.

Суммой двух или нескольких случайных событий называется случайное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них в данном опыте. Сумма обозначается: - объединение.

Произведением двух или нескольких случайных событий называется случайное событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий в данном опыте. Обозначается произведение случайных событий:

- пересечение.

Разностью случайных событий называется случайное событие, которое происходит в данном опыте лишь тогда, когда происходит событие и не происходит событие . Обозначается разность .

С помощью операций над случайными событиями можно из простых, элементарных событий получать более сложные случайные события и наоборот, а также находить их вероятности.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность суммы двух несовместных случайных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A) + P(B). (1.2.3)

Доказательство. Возьмём опыт, исходов которого образуют полную группу несовместных равновозможных случайных событий (приводятся к схеме случаев), из которых только исходов благоприятствуют событию , а исходов благоприятствуют событию . Так как события несовместны, то число исходов, благоприятствующих событию , будет равно .

Тогда по классической формуле получим

.

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения и для суммы несовместных случайных событий.

Пример. В магазине работают 10 продавцов, среди которых 4 не прошли медицинское обследование. При обследовании продавцов магазина случайным образом берут двух продавцов. Какова вероятность того, что среди двух взятых для обследования продавцов окажется хотя бы один, не прошедший медицинское обследование?

Решение. Обозначим через событие – хотя бы один из двух взятых продавцов не прошел медицинское обследование. Его можно представить как сумму двух несовместных событий: - один продавец не прошел обследование; – два продавца не прошли обследование, т.е. .

Тогда на основании теоремы сложения вероятностей для несовместных событий получим: .

Вероятности событий находим по классической формуле, так как исходы опыта (взятие для проверки двух случайных продавцов из 10) образуют полную группу, несовместны и равновероятны.

Откуда окончательно получим:

, так как: – об-

щее число возможных исходов опыта; – число исходов, благоприятствующих событию ; – число исходов, благоприятствующих событию

; число сочетаний из элементов по .

Следствие 1. Для попарно несовместных событий , образующих полную группу, сумма их вероятностей равна единице.

(1.2.4)

Действительно, сумма событий по условию образует полную группу (достоверное событие) и её вероятность равна 1, а по теореме сложения для несовместных событий имеем

, откуда

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

. (1.2.5)

Следствие 2 является частным случаем следствия 1.

Пример. Если вероятность поступления абитуриента в университет равна , то вероятность непоступления абитуриента в университет будет .

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность суммы двух совместных случайных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

(1.2.6)

Для доказательства рассмотрим опыт, “сводящийся к схеме случаев”, исходов которого попарно несовместны, образуют полную группу и равновероятны. Предположим, что событию благоприятствует исходов, а событию благоприятствует исходов. Так как события и по условию совместны, то часть исходов будут благоприятствовать

событию и событию одновременно. Поэтому , ,

.

Так как сумме событий соответствуют появления либо события , либо события , либо события , то сумме событий будут благоприятствовать исходов из . Поэтому по классической формуле получим:

.

Методом полной индукции можно получить общую формулу теоремы сложения для суммы совместных событий.