1.8. Многомерные случайные величины

В практике статистических исследований большинство реальных объектов представляется не одной случайной величиной, а набором, который называется системой случайных величин или случайным вектором с координатами и обозначается .

Простейшей представительницей системы случайных величин является система двух случайных величин, обозначаемая .

Примером системы двух случайных величин может являться система , у которой:

– возраст жителя города, – его годовой доход.

Закон распределения системы двух дискретных случайных величин представляет собой таблицу распределения (табл. 1.8.1), в которой для каждой пары случайных значений задана её

вероятность , .

Таблица 1.8.1

			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Свойства таблицы распределения:

1. Сумма вероятностей в строке “i” таблицы распределения равна вероятности значения :

, .

2. Сумма вероятностей в столбце “j”таблицы распределения

равна вероятности значения : .

3. Сумма вероятностей таблицы распределения равна единице, так как это сумма вероятностей случайных событий, образующих полную группу:

.

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно найти закон распределения каждой из величин, входящих в систему, условные законы распределения, а также их основные числовые характеристики.

Условным законом распределения одной из величин, входящих в систему двух случайных величин , называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение.

Пример. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин задан таблицей распределения следующего вида:

Таблица 1.8.2

Требуется найти законы распределения случайных величин и , входящих в систему, а также их условные законы распределения и условные математические ожидания.

Решение. Складывая вероятности таблицы распределения системы по “строкам” и “столбцам”, получим законы распределения вероятностей для случайных величин и .

Таблица 1.8.3

Таблица 1.8.4

Найдём условный закон распределения случайной величины , входящей в систему , если другая случайная величина приняла значение 1.

;

Тогда условный закон распределения случайной величины , найденный при условии, что другая случайная величина приняла значение , будет

Таблица 1.8.5

Полученный условный закон распределения позволяет найти условное математическое ожидание случайной величины как сумму произведений её возможных значений на их условные вероятности:

.

Аналогично можно найти условный закон распределения и условное математическое ожидание для случайной величины при определённом значении случайной величины .

Закон распределения системы двух непрерывных случайных величин задаётся с помощью функции распределения, представляющей собой вероятность совместного выполнения двух неравенств: т.е.:

, (1.8.1)

или с помощью функции плотности , (1.8.2)

являющейся второй смешанной частной производной от функции распределения.

В практических исследованиях, связанных с системой двух случайных величин, кроме законов распределения, используются также числовые характеристики распределения, к которым относятся:

1. Два математических ожидания:

– для дискретных случайных величин,

, – для непрерывных случайных вели-

чин.

2. Две дисперсии:

, – для дискретных случайных величин,

, – для непрерыв-

ных случайных величин.

3. Два средних квадратических отклонения: , .

Кроме указанных основных числовых характеристик, для системы двух случайных величин в статистических исследованиях используются ещё такие характеристики, как корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент (иногда называемый ковариацией и обозначаемый представляет собой характеристику, описывающую связь и рассеивание случайных величин и , образующих систему :

. (1.8.3)

Если в правой части выражения (1.8.3) открыть скобки и привести подобные члены, то получим удобную рабочую формулу вычисления корреляционного момента: . (1.8.4)

Для независимых случайных величин и , входящих в систему,

, так как на основании свойств математического ожидания и рабочей формулы вычисления корреляционного момента для независимых случайных величин и имеем и

Если , то случайные величины и являются зависимыми.

Использование корреляционного момента в качестве характеристики связи для системы двух случайных величин не всегда удобно, так как его значение зависит от единиц измерения случайных величин.

Более удобной характеристикой для статистических исследований является нормированный корреляционный момент, называемый коэффициентом корреляции:

(1.8.5)

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости случайных величин, образующих систему.

Если , то случайные величины связаны линейной функциональной зависимостью.

Если , то имеет место вероятностная (стохастическая) зависимость.

При случайные величины и связаны положительной корреляцией, при которой с ростом случайная величина имеет тенденцию к возрастанию.

Когда , то случайные величины и связаны отрицательной корреляцией, при которой с ростом случайная величина имеет тенденцию к уменьшению. Равенство нулю коэффициента корреляции говорит о том, что между случайными величинами и отсутствует линейная зависимость. Равенство нулю коэффициента корреляции есть необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величин, входящих в систему, так как при отсутствии линейной корреляционной зависимости может иметь место другой вид зависимости, например, нелинейной.

Пример. Задана таблица (1.8.6) распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины .

Требуется составить законы распределения для случайных величин и , найти их математические ожидания, дисперсии, а также корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Таблица 1.8.6

Решение. На основании свойств таблицы распределения 1.8.6 системы находим законы распределения случайных величин и :

Таблица 1.8.7

Таблица 1.8.8

Имея закон распределения системы , а также законы распределения случайных величин и , можно найти их математические ожидания, дисперсии, корреляционный момент и коэффициент корреляции:

,

,

, где