Задачи для самостоятельного решения

1. Для определения средней стоимости потребительской корзины жителей микрорайона города были опрошены случайным образом 310 человек.

В результате было установлено, что среднее квадратическое отклонение затрат на приобретение потребительской корзины для одного жителя микрорайона города не превышает 500 руб.

Какова вероятность того, что ошибка определения средней стоимости потребительской корзины для жителя микрорайона города не превысит 2500 руб., если среднюю стоимость потребительской корзины будут находить как среднее арифметическое результатов опроса?

2. Среднемесячный доход жителя города определялся как среднее арифметическое результатов опроса 415 человек. Было установлено, что среднее квадратическое отклонение среднемесячного дохода для одного любого жителя города не превышает 600 руб. Кроме того, известно, что вероятность совершить ошибку при использовании среднего арифметического для определения среднемесячного дохода вместо математического ожидания составляет .

Какова величина ошибки, полученной в результате определения среднемесячного дохода жителя города как среднего арифметического по результатам опроса?

3. Клиентами банка являются 1500 вкладчиков. Средняя величина средств, снимаемых с личного счёта “i” вкладчиком в течение месяца известна и составляет 8005 руб. Дисперсия этой величины также известна и равна 490000.

Объём средств, предназначенный для выдачи вкладчикам, резервируется ежемесячно банком и составляет 12000000 руб.

Какова вероятность того, что потребное количество денежных средств, необходимое для выдачи клиентам банка, превысит резервируемый объём?

Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа

В случае, когда - велико, а , вероятности случайных событий могут вычисляться с помощью асимптотических формул локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа, являющихся следствием центральной предельной теоремы закона больших чисел.

Теорема (Локальная теорема). Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях ровно раз, приближенно равна:

, (1.7.7)

где - число независимых, повторяющихся испытаний;

- число появлений события в независимых испытаниях;

- вероятность появления события ровно раз в независимых испытаниях;

– функция плотности стандартной, нормально распре-

делённой случайной величины (чётная функция, табулирована, см. далее приложение 1);

– значение стандартной, нормально распределенной случайной величины ;

- основание натурального логарифма ( );

– константа ( 3,14 ).

Пример. Страховая компания застраховала на случай автомобильных аварий 250 водителей автомобилей. Вероятность попасть в автомобильную аварию и получить страховую сумму у каждого водителя составляет Найти вероятность того, что из 250 водителей 70 попадут в автомобильные аварии и получат страховые суммы.

Решение. В данной задаче = 250 ( велико), а , поэтому, применяя локальную теорему Муавра-Лапласа, получим:

. (1.7.8)

Так как , а функция - чётная (табу-

лирована, см. приложение 1), то окончательно получим:

.

В некоторых задачах с повторяющимися испытаниями, когда велико, а , требуется найти вероятность того, что событие среди независимых испытаний появится не менее и не более раз.

Для решения таких задач обычно используется интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема (Интегральная теорема). Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз, приближенно равна:

(1.7.9)

где – функция Лапласа (табулирована, нечётная, см.

приложение 2);

и – аргументы функции Лапласа.

Пример. Cтраховой компанией застраховано от автомобильных аварий 120 автомобилистов. Вероятность попасть в автомобильную аварию и получить страховую сумму для каждого автомобилиста постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что число водителей, попавших в автомобильную аварию и получивших страховые суммы, окажется не менее 85.

Решение. Так как (велико), а , то для решения задачи можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой получим:

(1.7.10)

, ;

поэтому .