Теорема Бернулли
Теорема. Для независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна , вероятность отклонения относительной частоты от вероятности появления события в одном испытании по абсолютной величине будет сколь угодно близка к единице, если число испытаний достаточно велико, т.е.
,
(1.7.5)
где
– частость или относительная частота
появления события
в
независимых испытаниях;
– вероятность появления события в одном испытании;
– произвольно малая, положительная величина.
Доказательство. Обозначим: – биномиальная случайная величина (число появлений события в независимых испытаниях),
–
альтернативная случайная величина
(число появлений события
в одном испытании. Тогда для
независимых испытаний будем иметь:
Согласно (1.5.4.), для альтернативных случайных величин имеем:
а
и
–
ограничена, т.к.
.
Поэтому, применив частный случай теоремы Чебышева (1.7.4), получим:
или
.
Теорема Бернулли позволяет находить вероятность появления события с помощью частости (относительной частоты) по результатам наблюдений, когда число наблюдений достаточно велико.
Пример. Вероятность не заболеть
гриппом для каждого жителя района города
известна и равна
.
С вероятностью
найти минимальное
и максимальное
число не заболевших гриппом жителей
данного района, если в нём проживает
10000 человек.
Решение. Согласно теореме Бернулли,
имеем:
.
Тогда, подставив исходные данные задачи, получим:
, откуда
.
Так как
то
,
или
и
чел.,
чел.
Центральная предельная теорема
Под названием “Центральная предельная теорема” обычно понимают совокупность теорем, в которых рассматриваются условия возникновения нормального закона распределения. Ниже рассматривается одна из них.
Теорема. Если последовательность
независимых одинаково распределённых
случайных величин
имеет математическое ожидание
и дисперсию
,
то при неограниченном возрастании
(1.7.6)
т.е. функция распределения суммы
достаточно большого числа одинаково
распределённых центрированных и
нормированных случайных величин с
ростом
неограниченно
приближается к функции распределения
стандартной нормально распределённой
случайной величины
,
у которой
,
а значения имеются в соответствующей
таблице (см. приложение 2) и используются
при решении практических задач.
Пример. В избирательном округе 20 избирательных участков с 500000 избирателей. Статистическая обработка информации, полученной в результате опроса избирателей, показывает, что среднее число избирателей на каждом участке, собирающихся в день выборов голосовать “за”, составляет приблизительно 1000 чел., а его дисперсия 40000.
Какова вероятность того, что число избирателей, проголосовавших “за”на 20 избирательных участках округа, составит более 19000 человек ?
Решение. Обозначим: - ожидаемое число избирателей, проголосовавших “за” на “i” избирательном участке;
среднее
число избирателей на каждом участке,
собирающихся голосовать “за”;
– дисперсия ожидаемого числа избирателей,
голосующих “за” на “i”-
избирательном участке;
– ожидаемое число избирателей, голосующих “за”, для всего округа из 20 избирательных участков.
Тогда
среднее число избирателей для всего
округа, собирающихся голосовать “за”;
дисперсия числа избирателей, голосующих
“за”для всего округа;
– среднее квадратическое отклонение
числа избирателей, голосующих “за”
для всего округа.
Так как число избирательных участков
в округе достаточно велико (
,
то, на основании центральной предельной
теоремы, закон распределения случайной
величины
можно
считать нормальным и для решения задачи
можно использовать табличные значения
функции Лапласа. Поэтому:
.