Распределение Стьюдента
Распределение случайной величины
,
где
–
стандартная нормально
распределённая величина (
– случайная величина, имеющая распределение
с
степенями свободы, независимая от
,
является
–
распределением с
степенями свободы (распределением
Стьюдента) или
распределением.
Это распределение очень близко к нормальному и, в отличие от него, зависит только от одного параметра – числа степеней свободы .
Кривая плотности как и у нормального закона распределения является симметричной относительно оси ординат, но более пологой.
Функция плотности – распределения имеет вид:
,
(1.6.4)
где
– зависит только от параметра
и выражается через гам-
ма-функцию.
Из симметрии
распределения следует, что математическое
ожидание и медиана равны нулю, т.е.
.
Дисперсия
–
распределения зависит от числа степеней
свободы и равна:
.
Распределение Стьюдента используется в статистических исследованиях для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез.
Распределение Фишера
Распределение Фишера – это
распределение отношения двух независимых
случайных величин
и
с распределением
,
с
и
степенями свободы:
.
(1.6.5)
Распределение Фишера зависит от двух параметров, которыми являются соответственно и .
Функция плотности имеет вид:
(1.6.6)
где
.
Широкое распространение распределение
Фишера получило в статистическом
анализе, например, при проверке
статистических гипотез о равенстве
дисперсий, при проверке адекватности
уравнения регрессии в дисперсионном
анализе. Распределения
,
,
табулированы.
1.7. Закон больших чисел
Закон больших чисел представляет собой группу теорем о статистических закономерностях в поведении массовых случайных явлений, случайных величин, об условиях возникновения случайных величин с нормальным законом распределения.
Неравенство Чебышева
Если случайная величина
имеет
математическое ожидание
и
дисперсию
то вероятность того, что отклонение
случайной величины
от её математического
ожидания по абсолютной
величине будет меньше
положитель-
ного числа
,
не меньше чем
, т. е.
. (1.7.1)
Неравенство Чебышева используется для доказательства теоремы Чебышева, а также его можно использовать для приблизительной оценки вероятности отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Теорема Чебышева
Теорема Чебышева является теоретической основой статистических методов обработки результатов наблюдений и имеет большое практическое значение. Так, например, на ней базируется широко используемый в статистике выборочный метод, позволяющий по ограниченным выборочным данным получить основные характеристики генеральной совокупности.
Теорема. Если
– попарно независимые случайные
величины, имеющие математические
ожидания
и
равномерно ограниченные числом
дисперсии (
),
то для произвольного, сколь угодно
малого
будет справедливо следующее неравенство:
(1.7.2)
или, переходя к пределу при
,
получим:
.
(1.7.3)
Действительно, обозначив среднее арифметическое случайных вели-
чин
как
,
получим математическое ожидание
и равномерно ограниченную числом
дисперсию
,
т.к.
,
а
,
по условию.
Далее, применив к случайной величине неравенство Чебышева, получим (1.7.2, 1.7.3).
Если принять, что
(
-
постоянная величина) и
,
то получим частный случай теоремы
Чебышева:
.
(1.7.4)
Пример. Средняя стоимость потребительской корзины жителя города определялась как среднее арифметическое результатов опроса 300 человек. Было также установлено, что среднее квадратическое отклонение стоимости потребительской корзины для одного жителя города составляет 1000 руб., а вероятность совершить ошибку при использовании для определения средней стоимости потребительской корзины среднего арифметического вместо математического ожидания составляет 0,989. Какова величина ошибки, полученной в результате такой замены?
Решение. Для решения задачи используем теорему Чебышева:
,
согласно которой получим:
,
откуда
