Задачи для самостоятельного решения

1. Размер изготавливаемой на станке детали представляет собой случайную величину, подчиненную нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,45.

а) Определить гарантируемую точность изготовления детали, если вероятность невыхода за пределы заданного допуска составляет 0,98;

б) найти вероятность того, что отклонение размера детали при ее изготовлении не превысит 0,15.

2. На заводе строительных конструкций изготавливаются строительные блоки длиною , которая распределена нормально с математическим ожиданием, равным 60 мм. Фактическая длина изготовленных блоков составляет не менее 30 и не более 90 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятого из изготовленных блоков: а) больше 40 мм, б) меньше 75 мм.

3. При расследовании причин аварии было установлено, что одной из них может быть установка при сборке на машину детали, размер которой выходит за пределы интервала (15, 30 мм). Кроме того, было установлено, что размер поступающих на сборку деталей из-за неточности изготовления является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическое ожидание которой равно 20 мм, и средним квадратическим отклонением равным 5.

Требуется с помощью вероятности оценить возможность аварии из-за установки на машину при её сборке детали, размер которой выходит за допустимые пределы [3].

1.6. Распределения, связанные с нормальным Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальному распределению подчиняются случайные величины, логарифм которых имеет нормальный закон распределения.

Функция плотности логарифмически нормального закона распределения имеет правостороннюю асимметрию, которая с уменьшением уменьшается, и логарифмически нормальное распределение приближается к нормальному.

Функция распределения и функция плотности логарифмически нормального закона распределения имеют вид:

, (1.6.1)

(1.6.2)

где - параметры логарифмически нормального закона распределения.

Основными числовыми характеристиками являются:

– математическое ожидание случайной величины, имеющей логарифмически нормальный закон распределения.

– дисперсия случайной величины .

Логарифмически нормальное распределение позволяет описывать совместное мультипликативное воздействие на результирующую случайную величину многих независимых случайных факторов, когда их влияние пропорционально изменению самих факторов. Случайные величины с логарифмически нормальным законом распределения используются при построении статистических моделей таких социально-экономических и физических процессов, как формирование величины заработной платы, дохода семьи, банковских вкладов, размеров наследства, долговечности изделий и т. д.

Распределение Пирсона

Распределение с степенями свободы есть распределение суммы квадратов стандартных, нормально распределённых случайных величин у которых математическое ожидание , а дисперсия ,

т.е. .

Плотность распределения задаётся функцией:

(1.6.3)

где – гамма-функция

имеет также правостороннюю асимметрию и с ростом приближается к нормальному распределению.

Распределение зависит от одного параметра (числа степеней свободы).

Число степеней свободы представляет собой разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, ограничивающих свободу изменения этих величин. Если слагаемые, образующие сумму, независимы, то число степеней свободы равно числу слагаемых (т.е. для распределения ). В том случае, когда слагаемые суммы связаны линейным соот-

ношением число степеней свободы уменьшается на единицу и

.

Математическое ожидание случайной величины с распределением равно: ,

а дисперсия: .

Распределение связано с критерием согласия Пирсона, используемым в статистическом анализе при проверке статистических гипотез.