Задачи для самостоятельного решения
1. Интервал времени между приходами избирателей на избирательный участок есть случайная величина T с показательным законом распределения, параметр которого равен 0,5 избирателя / час. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение интервала времени T.
2. Интервалы времени между сообщениями в потоке информации о работе подразделений фирмы в центр управления представляют собой значения случайной величины с показательным законом распределения, функция распределения которой:
Найти вероятность того, что поступающая в центр управления информация будет приходить с 13 до 14 часов.
3. Записать функцию плотности и функцию распределения показательного закона распределения интервала времени между приходами клиентов в банк, а также основные числовые характеристики этого распределения, если интенсивность их прихода в банк равна 10 клиентов в час.
Распределение Вейбулла
Распределение Вейбулла имеет функцию распределения и функцию плотности следующего вида:
(1.5.18)
,
(1.5.19)
где
–
числовые параметры распределения;
– возраст исследуемого объекта.
Основные
числовые характеристики закона
распределения Вейбулла:
–
математическое ожидание случайной
величины
,
– дисперсия случайной величины
,
где
– гамма-функция.
При
распределение Вейбулла превращается
в экспоненциальное распределение,
являющееся его частным случаем, хорошо
описывающим продолжительность жизни
элемента системы в период постоянной
или низкой интенсивности отказов.
Распределение Вейбулла используется в теории надежности, демографии для анализа длительности жизни элемента, сложной системы, индивидуума.
Нормальное распределение
Закон нормального распределения занимает особое место среди всех распределений случайных величин, так как он часто встречается на практике и, кроме того, является предельным законом распределения. Другие законы распределения при определенных условиях приближаются к нормальному распределению. Кроме того, сумма случайных величин с любыми законами распределения будет иметь распределение, приближающееся к нормальному, и тем точнее, чем больше слагаемых в этой сумме, и каждое из них является равномерно малым значением в общей сумме.
Функция плотности нормального закона распределения имеет вид:
.
(1.5.18)
Параметры
и
,
входящие в функцию плотности, представляют
собой математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной
величины
.
Математическое ожидание
задает центр разброса возможных значений
случайной величины
.
Дисперсия
и среднее квадратическое отклонение
определяют величину разброса возможных
значений случайной величины относительно
её математического ожидания. Функция
распределения случайной величины
,
имеющей нормальный закон распределения,
задаётся формулой:
F(x)
=
(1.5.19)
Графики функции плотности и функции распределения для нормального закона распределения приведены на рис. 1.5.3.
1
0 m x 0 x
Рис. 1.5.3.
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна:
P(a
< X
< b)
= Ф
– Ф
, (1.5.20)
т.к.
.
Для вычисления этого интеграла
заменим его с помощью
подстановки
разностью двух интегралов, яв-
ляющихся функциями Лапласа, т.е. P(a
< X
< b)=
=
=
,
где Ф(x)
=
– функция Лапласа.
(1.5.21)
Значения функции Лапласа табулированы и имеются в соответствующих таблицах (см. приложение 2). Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1. Ф(x) – нечетная, монотонно возрастающая функция,
2. Ф(0) = 0,
3. Ф(
.
Для участка [a,b]
длиною 2
,
симметричного относительно математического
ожидания, для вычислении вероятности
P(a
<X
< b)
используется
форму-
ла P(
,
являющаяся частным случаем формулы
(1.5.20).
Пример. При проверке работы цеха по данным, полученным от руководства цеха, следует, что брак среди выпускаемой цехом продукции составляет 5%. По данным, полученным от технолога цеха и из чертежей на изделие, установлено, что размер детали есть случайная величина с нормальным законом распределения, со средним квадратическим отклонением 0,2. Величина максимально допустимого отклонения размера детали от номинального размера, при котором деталь считается годной, составляет 0,3. Требуется оценить с помощью вероятности достоверность информации, полученной от руководства цеха, о качестве выпускаемой продукции.
Решение. Так как отклонение размера детали от проектного симметрично, то вероятность получения годной детали будет равна:
P(
< 0,3) = 2Ф
=
2Ф(1,5) = 20,4332
= 0,8664.
Откуда вероятность получения бракованной детали будет равна: 0,1336, что соответствует 13,36% брака. Таким образом, данные, представленные руководством цеха о количестве брака, занижены приблизительно в три раза.