Задачи для самостоятельного решения

1. На плодоовощной склад завезен скоропортящийся товар со сроком хранения не более семи дней. Определить вероятность хранения на складе товара более семи дней, а также математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени хранения товара на складе, если завоз свежего товара на склад осуществляется первого числа каждого месяца и поставки товара со склада в магазины осуществляются в случайные моменты времени.

2. Ёмкость цистерны для хранения бензина на бензозаправочной станции составляет 50 т. Найти вероятность того, что при случайной проверке в цистерне станции будет обнаружено:

- менее пяти тонн бензина;

- более тридцати тонн бензина.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества бензина, обнаруживаемое на станции при её случайной проверке.

3. Время ожидания клиентом освобождения мастера-парикмахера есть случайная величина с законом равномерной плотности в интервале (3; 15) мин. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания клиента.

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина подчинена показательному (экспоненциальному) закону распределения, если функция плотности имеет вид:

(1.5.14)

где – параметр распределения (положительная величина).

Тогда её функция распределения будет:

(1.5.15)

т.к.

и

Математическое ожидание случайной величины , подчиненной показательному закону распределения, может быть найдено как:

, (1.5.16)

а дисперсия:

тогда среднее квадратическое отклонение будет: . (1.5.17)

Таким образом, при показательном законе распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой, т.е. .

Эта особенность используется на практике для установления принадлежности изучаемого распределения к показательному.

F

1

0 0

Рис. 1.5.2. Графики функции плотности и функции распределения случайной величины в случае показательного закона распределения

Примером случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, может служить интервал времени между соседними событиями в простейшем потоке случайных событий, время безотказной работы элементов приборов, электронной аппаратуры, узлов оборудования. Под параметром распределения в практических приложениях обычно понимается интенсивность потока случайных событий ( например, потока информации, потока пассажиров, потока платежей в банке, интенсивность отказов элементов и систем в теории надёжности).

Пример. Время подбора работы безработному в агентстве по трудоустройству есть случайная величина c показательным законом распределения, параметр которого чел. /час. Определить вероятность того, что время трудоустройства одного безработного составит менее 7 час. Найти минимальное, максимальное и среднее время трудоустройства одного безработного.

Решение. Обозначим время трудоустройства одного безработного через T.

Значения случайной величины T принадлежат интервалу (0 .

При показательном законе распределения случайной величины T вероятность того, что она примет значение, меньшее 7 час, определится как P (T < 7) = F(7) = 1 = 0,8242. Среднее время трудоустройства одного безра-

ботного будет равно: = = 4 час. Mинимальное время трудоустройст-

ва одного безработного составит: T час. Максимальное время трудоустройства для одного безработного составит:

T час.