Задачи для самостоятельного решения

1. В центр обработки информации за один час поступает в среднем тридцать сообщений. Найти вероятность того, что за одну минуту в центр поступят:

а) три сообщения;

б) менее трёх;

в) более трёх.

2. Вероятность того, что любой из 4000 жителей микрорайона будет пользоваться услугами банка, равна 0,0005. Найти вероятность того, что услугами банка будут пользоваться: а) 7 человек, б) менее 7 человек.

3. Фирма заключила договор с магазином об изготовлении и поставке для реализации 6000 изделий. Процент брака по данному виду продукции на фирме составляет 0,001% . Найти вероятность того, что ровно четыре изделия из поставленных в магазин окажутся бракованными.

Закон равномерной плотности

Это закон распределения непрерывных случайных величин. Примером случайной величины, подчиненной закону равномерной плотности, может служить ошибка округления результата измерения прибором физической величины до ближайшего целого деления равномерной шкалы, время ожидания обработки информации, время ожидания пешехода или автомобиля у светофора и т.д.

Функция плотности и функция распределения случайной величины с равномерным законом распределения на отрезке [a,b] имеют вид:

0 при x < a, 0 при x ,

f(x) = при , F при a x , (1.5.10)

0 при x > b. 1 при x > b.

F

1

0 a b x 0 a b x

Рис. 1.5.1. Графики функции плотности и функции распределения

Это следует из свойств функции плотности и функции распределения (рис. 1.5.1).

Действительно, на основании свойства функции плотности

имеем: или

Функция распределения выражается через плотность как

, поэтому при .

Если то

если то

Основные числовые характеристики случайной величины X с законом равномерной плотности определяются формулами:

, , , (1.5.11)

так как .

Откуда видно, что , в случае закона равномерной плотности, располагается в середине отрезка .

Дисперсия случайной величины X определяется как

а среднее квадратическое отклонение случайной величины X будет

(1.5.12)

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на отрезке [a,b] в заданный интервал , принадлежащий отрезку [a,b], определяется как

P( , (1.5.13)

т.е. вероятность попадания равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины в интервал ( , принадлежащий отрезку [a,b], пропорциональна длине интервала ( с коэффициентом пропорциональности

Пример. При выяснении причин недостачи драгоценных металлов в ювелирном магазине установлено, что взвешивание производится на весах, цена деления которых составляет 0,2 г. При взвешивании ювелирных изделий показания весов округляются до ближайшего целого деления. Требуется c помощью вероятности оценить возможность возникновения ошибки, приводящей к потерям, превышающим 0,03 г, а также математическое ожидание и дисперсию ошибки округления [3].

Решение. Ошибка округления при отсчете является случайной величиной, имеющей закон равномерной плотности на участке, равном цене деления шкалы весов , поэтому функция плотности ошибки округления будет:

0 при x 0,

f(x) = 5 при 0 < x

0 при x > 0,2.

Ошибка отсчета превысит 0,03 г, если показание стрелки весов окажется на участке [0,03, 0,17]. Поэтому вероятность попадания случайной величины на заданный участок будет:

P(0,03 < >0,17) = 5(0,17- 0,03) = 0,7.

,