Взаимное расположение прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости. Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой ортогонален нормальному вектору плоскости :

.

Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда когда нормальные векторы , и компланарны:

.

Пересечение прямой и плоскости. Если прямая и плоскость не параллельны, то они пересекаются. Точка пересечения прямой и плоскости — решение системы

Точка пересечения прямой и плоскости — решение системы

Задача (Типовой расчет!). Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение. Запишем уравнения прямой в параметрической форме

и найдем точку пересечения прямой и плоскости как решение системы Имеем:

Проверим:

, . Верно.

Ответ. Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (10, 4, -3).

Задача (Типовой расчет!). Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .

Решение.

Точка, симметричная данной относительно плоскости, лежит на перпендикуляре к плоскости и удалена от плоскости на такое же расстояние, что и заданная точка.

Запишем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости . Направляющий вектор прямой — нормальный вектор плоскости .

Параметрические уравнения прямой:

Найдем точку M₀ пересечения этой прямой и плоскости:

Точка — середина отрезка , где — искомая симметричная точка. Тогда и .

Ответ. Симметричная точка — .

Задача (Типовой расчет!). Найти точку, симметричную точке относительно прямой

Решение.

Точка, симметричная данной точке относительно прямой, лежит на плоскости, перпендикулярной прямой и удалена от прямой на такое же расстояние, что и заданная точка.

Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой

Нормальный вектор плоскости — направляющий вектор прямой . Уравнение плоскости: , .

Найдем точку M₀ пересечения этой прямой и плоскости:

Точка — середина отрезка , где — искомая симметричная точка. Тогда и .

Ответ. Симметричная точка — .

Взаимное расположение прямых

Параллельность прямых. Прямая параллельна прямой тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны: .

Расстояние от точки до прямой.

Из рисунка видно, что расстояние d от точки до прямой равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах; — точка на прямой.

Тогда .

Расстояние между двумя непараллельными прямыми. Расстояние d между двумя непараллельными прямыми и , , равно проекции вектора на общий перпендикуляр прямых.

Общий перпендикуляр прямых коллинеарен векторному произведению их направляющих векторов: . А поскольку , и , то . Здесь , — точки на прямых, и — направляющие векторы прямых.

Задача. Найти расстояние между ребрами AC и SB тетраэдра ABCS:

A(1,0,0), B(1,3,0), C(2,7,0), S(1,1,1).

Решение. Направляющий вектор прямой, проходящей через вершины A и C — . Направляющий вектор прямой, проходящей через вершины S и B — . Тогда расстояние d между ребрами AC и SB вычисляется по формуле ; , , , .