Краткий конспект лекций и задачи к экзамену. / Лекция 12

5

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.

Лекция 12

Преобразование координат вектора при изменении базиса

Как уже отмечалось, в n-мерном пространстве Rⁿ существует множество различных базисов. Пусть и — два базиса в Rⁿ. Обозначим и координаты вектора в базисах и (векторы-столбцы!!!), т.е.

, ,, .

Естественно, существует связь между координатами вектора в разных базисах. Найдем ее. Поскольку векторы базиса сами являются векторами из Rⁿ, их можно разложить по базису :

.

Тогда , т.е. или, что то же самое, , .

Определение. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису , это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов («новых» базисных векторов) в базисе (в «старом» базисе).

Матрица перехода обратима. Действительно, ее столбцы линейно независимы, поскольку они — координатные столбцы базисных векторов.

Тогда из имеем формулу преобразования координат вектора при изменении базиса: .

Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 4). Вектор задан своими координатами в базисе . Найдем координаты вектора в базисе :

Решение. Используем формулу преобразования координат вектора при изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса к базису — ее столбцы — координаты векторов в базисе :

.

Найдем обратную матрицу методом Гаусса-Жордана

и тогда .

Проверим:

Получили заданные в условии координаты вектора в исходном базисе.

Ответ:

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса

Пусть и — два базиса в Rⁿ.

Обозначим и координаты векторов и из Rⁿ и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрицу перехода от базиса к базису , т.е. ,

,

Тогда

откуда имеем формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса: .

Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 7). Линейный оператор A, действующий в пространстве R3, задан в в базисе матрицей . Найдем матрицу оператора A, в базисе :

Решение. Используем формулу преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса к базису и вычислим обратную к ней (см. предыдущий пример): ,

.

Проверим. Проверить можно так: найти образы новых базисных векторов и записать матрицу в новом базисе.

Можно проверить «случайные» арифметические ошибки:

:

, .

Ответ:

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор A, действующий из пространства Rⁿ в пространство R^m. Напомним, что множество элементов пространства Rⁿ, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A).

Теорема. Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространство пространства Rⁿ.

Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольные векторы из образа линейного оператора: и . Это означает: и такие, что и .

A — линейный оператор, следовательно, т.е. ;

для любого числа , т.е. . Теорема доказана.

Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).

Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементов пространства Rⁿ, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .

Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства Rⁿ.

Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольные векторы ядра линейного оператора: и . Это означает: и .

A — линейный оператор, следовательно, т.е. ;

для любого числа , т.е. . Теорема доказана.

Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается def(A): r=def(A)=dimKer(A).

Для линейного оператора, действующего из пространства Rⁿ в пространство R^m, справедливы следующие утверждения:

1) ранг оператора равен рангу его матрицы;

2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A; размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора (найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Примеры. Ядро и образ нулевого оператора: поскольку то

ядро и образ тождественного (единичного) оператора: поскольку , то

ядро и образ оператора проектирования пространства Rⁿ на подпространство R^n-1 параллельно вектору : поскольку , то

ядро и образ оператора поворота пространства R³ против часовой стрелки на угол π относительно оси вектора : поскольку , то

Пример. Найдем ранг, дефект и базис ядра линейного оператора A, заданного в некотором базисе в R³ матрицей .

Решение. Приведем матрицу оператора к ступенчатому виду:

.

Следовательно, , .

Ядро оператора описывается равенством .

Методом Гаусса получили выражение для общего решения: или, что то же самое, .

Найдем ФСР (базис в пространстве решений однородной системы):.

Базис в пространстве решений однородной системы — это и есть базис в ядре оператора A, заданного в некотором базисе в R³ матрицей A.

Ответ: , ,

базис в ядре оператора образуют векторы.