Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанное произведение векторов , и (обозначаем его ) определяется равенством , т.е. равно скалярному произведению векторов и .

Свойства смешанного произведения. Понятно, что свойства смешанного произведения — это свойства скалярного произведения двух векторов, а поскольку первый из сомножителей, , векторное произведение, то получим суперпозицию свойств векторного и скалярного произведений.

Например: .

Рассмотрим только некоторые, наиболее интересные с нашей точки зрения свойства.

Признак компланарности векторов. Векторы, лежащие в одной плоскости (параллельные одной плоскости) называются компланарными векторами.

тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.

Действительно, если , то векторы и — ортогональны. Но вектор ортогонален векторам и . Это означает, что у векторов , и есть общий перпендикуляр, а это означает, что векторы , и лежат в одной плоскости (параллельны одной плоскости) — компланарны. Наоборот: если векторы что векторы , и лежат в одной плоскости, то векторное произведение ортогонально этой плоскости, т.е. ортогонально всем векторам плоскости, т.е. ортогонально вектору , т.е. , или, что то же самое, . Что и требовалось доказать.

С помощью смешанного произведения можно вычислять объемы: , V — объем параллелепипеда, построенного на векторах , и как на ребрах. Более того, если , то векторы , и образуют правую тройку, если же то векторы , и образуют левую тройку.

Действительно, , где S — площадь основания параллелепипеда, h — высота параллелепипеда, а знак определяется направлением вектора : «+» если вектор образует острый угол с плоскостью векторов , и

«–», если этот угол тупой; , — угол между векторами и . См. рисунок.

Ясно, что смешанное произведение позволяет вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах , и как на ребрах: Здесь S — площадь основания тетраэдра (площадь треугольника, она равна половине ), h —

высота тетраэдра (совпадает с высотой параллелепипеда).

См. рисунок.

Связь смешанного произведения с объемом параллелепипеда позволяет доказать нетривиальное равенство: .

Действительно, легко видеть, что оба смешанные произведения равны объему одного и того же параллелепипеда (объему со знаком «–» если тройка левая). Нарисуйте соответствующую картинку и увидите.

Это последнее равенство позволяет доказать линейность векторного произведения. Посмотрите выше. Было обещано доказать

;

Действительно. ,

т.е. , откуда . Что и нужно было доказать.

Вычислим смешанное произведение в координатах. Вспомните формулы для вычисления определителя 3-го порядка, формулы вычисления скалярного и векторного произведения в координатах.

Если векторы , и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , , то , а

Смешанное произведение векторов можно использовать для вычисления объемов параллелепипедов: , V — объем параллелепипеда, построенного на векторах , и как на ребрах .

Если смешанное произведение положительно — векторы , и образуют правую тройку; иначе — левую.

Равенство нулю смешанного произведения векторов — признак компланарности векторов: тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.

Задача (Типовой расчет!). Компланарны ли векторы , , ?

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов: .

Смешанное произведение векторов равно нулю — векторы компланарны.

Ответ. Векторы компланарны.

Задача (Типовой расчет!). Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A₁(1, -1, 2), A₂(2, 1, 2), A₃(1, 1, 4), A₄(6, -3, 8) и его высоту h, опущенную из вершины A₄.

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов , , и :

.

Тогда объем тетраэдра . Теперь найдем

высоту тетраэдра h, опущенную из вершины A₄ :

, ,

, .

Ответ. Объем тетраэдра — 6; высота, опущенная из вершины A₄, — .

Задача (Типовой расчет!). Найти расстояние от точки M₀(1, -1, 2) до плоскости, проходящей через точки M₁(2, 1, 2), M₂(1, 1, 4), M₃(6, -3, 8) .

Решение. Ясно, что искомое расстояние — это длины высоты тетраэдра с вершинами в точках M₀, M₁, M₂, M₃, опущенной из вершины M₀. Следовательно, решение задачи совершенно аналогично решению предыдущей задачи: вычислить объем тетраэдра (смешанное произведение), вычислить площадь основания (половина модуля векторного произведения), вычислить высоту тетраэдра.