Добавил:

Hidi Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Краткий конспект лекций и задачи к экзамену. / Лекция 11

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

26.05.2014

Размер:

326.14 Кб

Скачать

☆

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.

Лекция 11

Линейный оператор и его матрица

Линейный оператор. Основные понятия

Определение. Если каждому элементу из пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный элемент из пространства R^m , то говорят, что задан оператор, действующий из пространства Rⁿ в пространство R^m (или оператор, действующий в пространстве Rⁿ, если n=m).

Результат действия оператора A на элемент обозначают .

Если элементы и связаны соотношением , то называют образом ; а — прообразом .

Множество элементов пространства Rⁿ, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).

Множество элементов пространства R^m, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A). Если , то

Ядром оператора называется множество элементов линейного пространства Rⁿ, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .

Определение. Оператор A, действующий из пространства Rⁿ в пространство R^m называется линейным оператором, если для любых из Rⁿ и для любого действительного числа α справедливо:

и .

Примеры

1. Нулевой оператор: — линейный оператор, D()=Rⁿ, , Ker()=Rⁿ.

Докажем линейность нулевого оператора:

;

2. Тождественный (единичный) оператор I: — линейный оператор, D(I)= Rⁿ, Im(I)= Rⁿ, .

Докажем линейность тождественного оператора:

;

3. Оператор P₂ — оператор проектирования пространства R³ на подпространство R² параллельно вектору : линейный оператор, D(P₂)= R³ R³, Im(P₂)= R², .

Докажем линейность оператора проектирования:

4. Оператор U_ поворота пространства R² на угол φ относительно начала координат против часовой стрелки:

— линейный оператор, D(U_)= R², Im(U_)= R², .

Докажем линейность оператора поворота:

Замечание

Линейный оператор, действующий из пространства Rⁿ в пространство Rⁿ (действующий в Rⁿ) называют линейным преобразованием пространства Rⁿ.

Матрица линейного оператора

Пусть — линейный оператор, действующий из пространства Rⁿ в пространство R^m , , , .

Это означает, что в некотором базисе в Rⁿ и в базисе в R^m имеют место разложения:

, .

Поскольку A — линейный оператор, то

Но следовательно, т.е. — вектор из R^m, компоненты которого — координаты образа базисного вектора

Продолжим вычисления:

Обозначим

Тогда

т.е. .

Формула связывает вектор-столбец координат образа с вектором-столбцом координат прообраза, столбцы матрицы A — координаты образов базисных векторов.

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов некоторого базиса в R^т —

называется матрицей линейного оператора A в заданных базисах.

Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначение линейного оператора, A(светлая) или A_ef — обозначение матрицы оператора A в некоторых базисах или в базисе и .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространствах Rⁿ и R^m определены некоторые базисы и , , — и , то векторы-столбцы их координат и в этих базисах связаны соотношением , где A — матрица оператора A в этих базисах.

Между множеством линейных операторов, действующих из пространства Rⁿ в пространство R^m , и множеством прямоугольных матриц размерности m, n можно установить взаимно однозначное соответствие.

Примеры

1. Матрица нулевого оператора: поскольку то и, следовательно, матрица нулевого оператора — нулевая матрица.

2. Матрица тождественного (единичного) оператора: поскольку , то (единица на i-м месте) и, следовательно, матрица тождественного оператора — единичная матрица.

3. Матрица оператора проектирования пространства R³ на подпространство R² параллельно вектору : поскольку , то у матрицы P оператора проектирования последний столбец — нулевой; она имеет вид .

4. Матрица оператора U_ поворота пространства R² на угол φ относительно начала координат против часовой стрелки:

Поскольку , то матрица U оператора поворота имеет вид

Действия с линейными операторами

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число, а также операцию умножения операторов.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом: .

Определение. Произведением оператора A на число называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом:

Определение. Произведением операторов называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом: .

Нетрудно доказать, что сумма, произведение на число и произведение линейных операторов — линейный оператор.

Действительно: для любых двух векторов и из Rⁿ и любого числа справедливо:,

Нетрудно также доказать, что матрица суммы операторов в некоторых базисах равна сумме матриц слагаемых в тех же базисах; матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число; матрица произведения операторов — произведению матриц сомножителей.

Пример — Задача (ТР Линейная алгебра, задача 6)

Пусть A и B — операторы, действующие в R³ :

, и .