Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.

Лекции 7-8

Пространство арифметических векторов Rⁿ

Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов­­ Rⁿ.

Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .

Для любых , , из Rⁿ и любых чисел α , β справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. , сложение ассоциативно;

3. 

4. 

5. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

6. , умножение на число ассоциативно;

7. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

8. 

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.

Линейная зависимость и линейная независимость в Rⁿ

Определение. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где коэффициенты линейной комбинации — некоторые числа.

Определение. Говорят, что вектор пространства Rⁿ линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .

Определение. Система векторов из Rⁿ называется линейно независимой если из следует равенство нулю всех коэффициентов , .

Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю , что .

Или: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

Пример. Исследуем на линейную зависимость векторы из R³.

Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:

Т.е. линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты нулевые — векторы линейно независимы.

Пример. Исследуем на линейную зависимость систему векторов из R³.

Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:

Пусть, например, , тогда , т.е. существует нулевая линейная комбинация с отличными от нуля коэффициентами — векторы — линейно зависимы.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем функций

1. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.

2. Любая система векторов, содержащая пару взаимно противоположных векторов — линейно зависима.

3. Любая система векторов, содержащая два равные вектора — линейно зависима.

4. Любая подсистема линейно независимой системы векторов — линейно независима.

5. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система — линейно зависима.

Докажем первое из этих утверждений: любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима. Рассмотрим произвольную систему векторов и добавим к ней нулевой вектор: . Тогда : , т.е. равна нулю линейная комбинация с одним ненулевым коэффициентом — векторы линейно зависимы, ч.т.д.

Остальные утверждения доказываются аналогично. Докажите сами.

Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов в Rⁿ

Справедливо следующее утверждение.

Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов). Система векторов из Rⁿ линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов из Rⁿ линейно выражается через остальные векторы системы.

Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: векторы линейно зависимы. Докажем, что хотя бы один из них линейно выражается через остальные .

Векторы линейно зависимы. Это означает, что существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю, что .

Не умаляя общности, предположим, что именно . Тогда из следует: — вектор линейно выражается через . Необходимость доказана.

Достаточность. Дано: один из векторов системы линейно выражается через остальные. Докажем, что векторы линейно зависимы.

Действительно, не умаляя общности, положим, что вектор линейно выражается через : . Если все , то и векторы линейно зависимы (см. св-во 1). Если же среди есть хоть одно отличное от нуля число, то — имеем нулевую линейную комбинацию, не все коэффициенты которой равны нулю — система векторов линейно зависима. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Базис в Rⁿ. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции в координатной форме

Определение. Система векторов из Rⁿ образует базис в Rⁿ если:

1. система векторов упорядочена;

2. система векторов линейно независима;

3. любой вектор из Rⁿ линейно выражается через векторы системы.

Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов

Образует базис в Rⁿ если любой вектор из Rⁿ может быть представлен в виде .

Определение. Выражение называется разложением вектора в базисе , а числа называются координатами вектора в базисе .

Пример. Нетрудно доказать, что система арифметических векторов

линейно независима (см. пример с ) и что для любого из Rⁿ система векторов линейно зависима, поскольку любой вектор линейно выражается через : . Т.е. в Rⁿ существует базис, состоящий из n векторов. Базис называется естественным базисом в Rⁿ, и компоненты вектора — его координаты в естественном базисе.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема (о единственности разложения вектора в базисе). Для любого вектора из Rⁿ разложение вектора в базисе единственно.

Доказательство теоремы. «От противного». Пусть не так. Т.е. векторы образуют базис в Rⁿ , помимо разложения , существует разложение и не все коэффициенты C_i , B_i совпадают.

Тогда , и, следовательно, , откуда .

Но векторы образуют базис, — они линейно независимы, и, следовательно, , т.е. — все коэффициенты разложений соответственно равны — разложения совпадают. Теорема доказана.

Следствие. Координаты вектора в заданном базисе определяются единственным образом.

Теорема. В пространстве Rⁿ существует базис из n векторов.

Действительно, этот базис — естественный базис

Линейные операции в координатной форме

Пусть векторы образуют базис в Rⁿ. Тогда для любых двух векторов и

из Rⁿ однозначно определены разложения , . Тогда из свойств арифметических операций в Rⁿ следует:

и

для любого числа : .

Иными словами, координаты суммы векторов в заданном базисе равны сумме соответствующих координат слагаемых, а координаты произведения вектора на число — произведению соответствующих координат вектора на число.

Линейные подпространства в Rⁿ, размерность подпространства, базис в подпространстве

Определение. Множество L векторов из Rⁿ , такое, что для любых и из L и любого числа α справедливо , называется линейным подпространством в Rⁿ.

Пример. Множество L арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rⁿ:

Нетрудно доказать, что для любого линейного подпространства справедливо:

1. если вектор принадлежит линейному подпространству L, то и вектор принадлежит линейному подпространству L;

2. любое линейное подпространство содержит нулевой элемент.

Действительно, пусть но тогда и , и, следовательно, .

Утверждение. Пространство ­Rⁿ само является линейным подпространством в Rⁿ.

Это утверждение очевидно, поскольку сумма любых двух векторов из Rⁿ и произведение любого вектора из Rⁿ на любое число принадлежат Rⁿ.

Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы. Обозначаем dimL=k.

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема. В k-мерном линейном подпространстве существует базис их k векторов.

Доказательство теоремы. Действительно, если dimL=k, то существует система из k линейно независимых векторов , а любая система из k+1 вектора — линейно зависима, но тогда любой вектор линейно выражается через векторы : , т.е. — базис в L.

Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).

Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейного подпространства является базисом в этом подпространстве.

Теорема. Размерность линейного подпространства равна числу векторов в базисе этого подпространства.

Отсюда следует: dim(Rⁿ) = n.

Действительно, в пространстве Rⁿ есть базис из n векторов — естественный базис в Rⁿ.

Пример. Размерность линейного подпространства L арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты — нулевые, равна n – 1.

Действительно, векторы — очевидно, принадлежат L и линейно независимы. Покажем, что они образуют базис в L. Для произвольного вектора имеет место разложение справедливо: , т.е. векторы образуют базис в L. В этом базисе n-1 вектор, следовательно, dimL = n –1.

Тогда можно использовать другое определение базиса.

Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис этого линейного подпространства L.

Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы из L линейно независимы, то для любого существует единственный набор чисел таких, что .

Подпространство строк и подпространство столбцов прямоугольной матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу A_{m, n}, у которой m строк и n столбцов:

.

Её строки — —являются векторами из Rⁿ,

А столбцы — — являются векторами из R^m.

Понятно, что множество строк матрицы A_{m, n} , к которому добавили все строки, которые могут быть получены при элементарных преобразованиях матрицы (исключая транспонирование) — линейное подпространство в Rⁿ.

А аналогично образованное множество столбцов — линейное подпространство в R^m.

Это означает, что мы можем говорить о линейной зависимости и о линейной независимости строк и столбцов матрицы, о размерности подпространства строк и подпространства столбцов матрицы, о базисах в соответствующих подпростьранствах.

Ранг матрицы

Определение. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы. Обозначаем RgA, rgA.

Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимых строк, а любые r +1 строки — линейно зависимы.

Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.

Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство утверждения. Пусть A_{m, n} — прямоугольная матрица и RgA = r. Не умаляя общности, положим — линейно независимы первые r строк: . Выполним элементарные преобразования строк матрицы. Обозначим полученную матрицу A’, ее строки — .Очевидно, что перестановка строк или умножение строки на число не может повлиять на количество линейно независимых строк.

Выполним такое преобразование: к одной из строк матрицы прибавим другую, умноженную на отличное от нуля число.

Сначала выполним такое преобразование с первыми r линейно независимыми строками.

Например, . Тогда

Т.к. строки , то линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда . Отсюда немедленно следует, что и , т.е. первые r строк преобразованной матрицы — линейно независимы. Покажем, что любая система строк преобразованной матрицы линейно зависима, т.е. покажем, что строка линейно выражается через строки :

поскольку строки линейно зависимы, то

, а отсюда — и

Если же , то первые r строк преобразованной матрицы линейно независимы, а любые r­+1 линейно зависимы, т.к. любая строка преобразованной матрицы линейно выражается через ее первые ­r линейно независимых строк:

Утверждение доказано.

Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы.

Доказательство теоремы. Рассмотрим ступенчатую матрицу

т.е. , для всех , и для всех при . Важно понимать, то у ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов отличны от нуля:.

Первые r строк этой матрицы линейно независимы. Действительно, приравняем к нулю линейную комбинацию этих строк: и вычислим ее в естественном базисе:

,

, …,

Равенство нулю линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда:

, поскольку ,

, поскольку и , …,

, поскольку , , …, и .

Итак, первые r ненулевые строки линейно независимы, а любые r+1 строки — линейно зависимы, т.к. линейно зависима любая система векторов, содержащая нулевой вектор.

Теорема доказана.

Отсюда — алгоритм вычисления ранга матрицы.

Приведем матрицу к ступенчатому виду (доказано, что это можно сделать гауссовым исключением), ранг исследуемой матрицы равен рангу ступенчатой матрицы (выше доказано, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы) , ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы (по только что доказанной теореме).

Пример. Вычислим ранг матрицы , приведенной к ступенчатой форме (см. пример в конце предыдущей лекции).

В ступенчатой форме матрицы 3 ненулевые строки, следовательно, RgA=3.