Краткий конспект лекций и задачи к экзамену. / Задачи к экзамену ЛинАл

5

СТАНДАРТ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задачи к экзамену

Составили Сливина Н.А.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти координаты векторов . Изобразить эти векторы.

2. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти длины сторон треугольника.

3. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). B₁C₁ — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC. Найти длину B₁C₁.

4. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 1). Найти внутренние углы треугольника ABC.

5. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Вычислить площадь треугольника.

6. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины A.

7. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.

8. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.

9. Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Изобразить тетраэдр.

10. Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(0, 0, 1). Изобразить тетраэдр.

11. Записать координаты какого-либо вектора, ортогонального вектору .

12. Записать координаты какого-либо вектора, коллинеарного вектору .

13. Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам .

14. Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам .

15. Записать координаты какого-либо вектора, образующего острый угол с вектором .

16. Записать координаты какого-либо вектора, образующего тупой угол с вектором .

17. Записать координаты какого-либо вектора, образующего с векторами левую тройку.

18. Доказать, что вектор ортогонален вектору .

19. Вычислить векторное произведение векторов и .

20. Вычислить смешанное произведение

21. Дано: , , . Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Записать уравнения координатных плоскостей.

2. Записать параметрические уравнения координатных осей.

3. Записать канонические уравнения координатных осей.

4. Записать уравнения граней тетраэдра OABC, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

5. Записать уравнения высоты тетраэдра OABC, опущенной из вершины O. Здесь O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

6. Записать уравнение плоскости, проходящей через вершину O(0, 0, 0) тетраэдра OABC и перпендикулярной основанию ABC. Здесь A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

7. Записать уравнения прямой, проходящей через вершину A(1, 0, 0) тетраэдра OABC перпендикулярно его основанию ABC. Здесь O(0, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

8. Записать уравнения граней призмы OABO₁A₁B₁, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O₁ (0, 0, 1), A₁ (1, 0, 1), B₁ (0,1,1).

9. Записать уравнения ребер призмы OABO₁A₁B₁, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O₁ (0, 0, 1), A₁ (1, 0, 1), B₁ (0,1,1).

10. Найти расстояние между ребрами BC и OO₁ призмы OABCO₁A₁B₁C₁,

где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,2,0), С(0,3,0), O₁ (0, 0, 1), A₁ (1, 0, 1), B₁ (1,2,1), C₁ (0, 3, 1).

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1. Решить уравнения: a) ; б) ; в) .

2. Вычислить определители:

a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

3. Вычислить определители, приведением к диагональной форме:

a) ; б) .

4. Как изменится определитель 3-го порядка, если знаки всех его элементов поменять на противоположные?

5. Как изменится определитель третьего порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните и .

6. Как изменится определитель четвертого порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните и .

МАТРИЦЫ

1. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ж) ;

з) .

2. Вычислить обратную матрицу, проверить умножением:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

ПРОСТРАНСТВО АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ Rⁿ

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В Rⁿ

1. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что они образуют базис в соответствующем пространстве Rⁿ:

а) ;

б) .

2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

3. Доказать, что множество векторов пространства R⁶, компоненты которых с четными номерами равны нулю, образуют линейное подпространство в R⁶. Найти базис и размерность этого подпространства.

4. Доказать, что множество векторов пространства R⁴, первая и последняя компоненты которых равны нулю, образуют линейное подпространство в R⁴. Найти базис и размерность этого подпространства.

5. Привести матрицу к ступенчатому виду, указать ее ранг, указать размерность пространства строк и размерность пространства столбцов этих матриц:

а) ; б); в) ;

г) ; д) .

6. Пусть — произвольные векторы из R². Показать, что скалярное произведение в R² можно определить равенствами:

а) ; б) .

7. Вычислить скалярное произведение, длины и угол между векторами и в естественном (стандартном) базисе. Вычислить скалярное произведения этих векторов, их длины, угол между ними, используя скалярное произведение, определенное равенством , где , — произвольные векторы из R². Сравните результаты вычислений.

8. Вычислить скалярное произведение, длины и угол между векторами и в естественном (стандартном) базисе. Вычислить скалярное произведения этих векторов, их длины, угол между ними, используя скалярное произведение, определенное равенством , где , — произвольные векторы из R². Сравните результаты вычислений.

9. Доказать ортогональность системы векторов; дополнить систему до ортогонального базиса:

а) ; б) .

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Решить системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера:

а) б) в)

2. Решить системы линейных алгебраических уравнений как матричные уравнения:

а) б) в)

3. Исследовать системы линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):

а) б) в)

г) д)

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

1. Линейные операторы A и B, действующие в R³, заданы матрицами , . Найти матрицы операторов:

а) AB; б) A²+ B; г) A+ BA.

2. Линейный оператор A, действующий в R³, задан матрицей . Найти координаты образа вектора .

3. Линейные операторы, действующие в R³, заданы своими матрицами. Найти собственные значения и собственные векторы операторов:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

4. Линейные операторы, действующие в R³, заданы своими матрицами. Найти матрицы операторов в указанных базисах:

а) , б) ,

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определить вид поверхности. Изобразить ее схематически. Найти и изобразить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями и с заданной плоскостью.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .