ІV. Лабораторний практикум

Похибки вимірювання фізичних величин

1. Види вимірювань. Похибки.

Виміряти фізичну величину означає порівняти її з однорідною, прийнятою за одиницю. За способом одержання результату розрізняють прямі та непрямі (опосередковані) вимірювання. При прямих вимірюваннях шукана величина визначається безпосередньо за допомогою вимірювального приладу (розміри – лінійкою, штангенциркулем, мікрометром, тощо; маса – терезами; час – секундоміром; сила струму – амперметром, тощо). Результат непрямого вимірювання визначається при підстановці значень прямих вимірювань до розрахункової формули.

Будь-яке вимірювання не може дати справжнього (істинного) значення величини, а отримується лише наближене значення. Це пов’язано з властивостями вимірювальних об’єктів та обмеженістю вимірювальної техніки.

Розрізняють випадкову похибку, систематичну та промах. Випадкова похибка змінюється від досліду до досліду і причина її виникнення обумовлена дією великої кількості наперед непередбачуваних факторів. Ця похибка може бути оцінена шляхом обробки результатів вимірювань з застосуванням апарату теорії ймовірностей.

Систематична похибка повторюється від досліду до досліду або змінюється за певним законом. Джерелом систематичної похибки є неточність вимірювального приладу, недосконалість методики вимірювання; вона усувається шляхом введення поправок.

Промах – це результат використання несправного приладу, неправильної методики вимірювання, недбалих дій експериментатора. Результат такого вимірювання відкидається.

Нехай точне значення деякої величини x₀, а в процесі вимірювань отримали ряд значень x₁, x₂, x₃, … x_n. Абсолютною похибкою деякого і-го вимірювання є модуль різниці між виміряним та істинним (точним) значенням цієї величини

. (1)

Відносна похибка визначає точність вимірювання і рівна відношенню абсолютної похибки до виміряного значення. Часто її виражають у відсотках

. (2)

Крім випадкової, існує приладова похибка, яка визначається за паспортною похибкою приладу. У найпростіших випадках (лінійки, штангенциркулі тощо) вона рівна половині ціни поділки. Якщо покази приладу змінюються стрибком, тоді паспортна приладова похибка рівна ціні поділки (секундоміри, цифрові прилади).

У випадку електровимірювальних приладів їх паспортна приладова похибка визначається через клас точності приладу та межу вимірювання

. (3)

Для магазинів опорів паспортна приладова похибка вимірювання опору визначається за класом точності магазину

(4)

де – виставлене на магазині значення опору.

2. Обробка результатів прямих та непрямих вимірювань

Прямим називається вимірювання, результат якого отримується безпосередньо за показами вимірного приладу.

Будь-яке вимірювання має зміст, якщо відомо його абсолютну та відносну похибки. Абсолютна похибка визначає довірчий інтервал, який з певною надійністю (ймовірністю) попадає шукана величина.

В теорії похибок доводиться, що точне значення вимірюваної величини дорівнює середньому арифметичному з нескінченно великого числа результатів окремих вимірювань. Оскільки на практиці виконати цю умову неможливо, то користуються наступною методикою (метод Стюдента). При прямих вимірюваннях визначають вибіркове середнє арифметичне значення кількох вимірювань

, (5)

де – значення і-го вимірювання, – число вимірювань.

Вибіркове середнє квадратичне відхилення величини від визначається за формулою

. (6)

Випадкова похибка вимірювання рівна

, (7)

де – коефіцієнт Стюдента. Він залежить від вибраної надійності Р та числа вимірів n. Надійність – це ймовірність попадання значення шуканої величини в заданий абсолютною похибкою довірчий інтервал. Як правило, обмежуються п’ятьма вимірами і при надійності коефіцієнт Стюдента рівний .

При цій надійності

(8)

де – приладова похибка, – паспортна похибка.

Оскільки випадкова та приладова похибки взаємонезалежні, то загальна похибка

. (9)

При непрямих вимірюваннях результати прямих вимірювань підставляють у деяку аналітичну залежність (формулу)

, (10)

де – значення окремих незалежних параметрів, отриманих при прямих вимірюваннях.

Найкраще наближення до точного значення одержують при підстановці у (10) середніх вибіркових значень результатів прямих вимірювань ( )

. (11)

Абсолютну похибку визначають за формулою

, (12)

де – частинна похідна функції по відповідному параметру , – абсолютні похибки окремих величин .

Величини визначаються за формулами (5) – (9).

Відносна похибка при непрямих вимірюваннях визначається як

(13)

або як корінь квадратний із суми квадратів відносних похибок окремих величин, які були визначені при прямих вимірюваннях

. (14)

В розрахункову формулу непрямих вимірювань часто входять математичні та фізичні константи або раніше виміряні величини. Похибка констант або раніше виміряних величин приймається рівною половині одиниці залишеного розряду. Наприклад:

; ; .

При записі кінцевого результату вимірювань використовують наступні правила заокруглення. Абсолютну похибку заокруглюють до двох значущих цифр, якщо перша значуща цифра похибки одиниця, і до однієї цифри – в усіх інших випадках. Результат вимірювань заокруглюють до того ж десяткового розряду, що і абсолютну похибку. Наприклад, якщо при вимірюванні сили похибка , а середнє значення сили , то після заокруглення запис набуде вигляду:

.

Таким чином абсолютна похибка визначає довірчий інтервал і рівна його половині. Це означає, що всі значення F попадатимуть в довірчий інтервал із заданою надійністю .