Глава 1в

ридиана. Внутри каждой зоны центральный меридиан выбирается

осевым с долготой, рассчитываемой по формуле L, = б'N — 3', где N

номер зоны.

В проекции Гаусса — Крюгера в каждой зоне осевой меридиан

представляет ось абсцисс (ОХ), а экватор представляет ось ординат

(ОУ). Они изображаются на плоскости взаимно перпендикулярны-

ми прямыми (рис. 10.1).

Осецо

она р,

Рис. 10.1. Зоны и осевые меридианы зон

Проекция Гаусса — Крюгера имеет следующие особенности:

— перенос с эллипсоида на плоскость осуществляется по зо-

нам;

— на осевом меридиане каждой зоны искажения отсутствуют,

т. е. масштаб изображения равен единице;

— проекция обладает свойством осевой симметрии, т. е. в точ-

ках, симметрично расположенных относительно осевого меридиа-

на искажения одинаковы;

— проекция конформна, т. е. при проектировании углы не ис-

кажаются, и сохраняется подобие бесконечно малых фигур.

Запишем следующий общий вид формул перехода от эллипсо-

идальных к прямоугольным координатам:

X=f1 (В, ЛА);

(8 AL)

где hL = L — L, есть разность долгот точки и осевого меридиана.

Проекция Гаусса — Крюгера удобна в том плане, что единооб-

разно осуществляется перевычисление координат во всех зонах.

Прямоугольные координаты любой точки вычисляются по единому

же алгоритму вне зависимости от зоны, т. к. прямоугольные коор-

динаты зависят не от долготы точки, а от разности долгот А7.. Орди-

наты точек, расположенных восточнее осевого меридиана имеют

IIPIIENIINII ГАУВА-кРЮ(еРЙ. HIIMEHNAATYPA RAPT

° 10.2. Маештай иаейраженип н преекции Гапееа-йрагера.

Искажение линий и плещалей н п еекции la cca-I аге а

Масштабом изображения линии в проекции называют отно-

шение длины бесконечно малого отрезка в проекции к длине соот-

ветствующего отрезка на эллипсоиде. Ранее было сказано, что рас-

сматриваемая проекция является конформной, т. е. при переходе

на плоскость сохраняется подобие бесконечно малых фигур, Из

этого следует, что масштаб изображения в проекции Гаусса — Крю-

гера постоянен во всех направлениях. Если длина малого отрезка в

проекции Гаусса — Крюгера равна S„, а на эллипсоиде S, то масштаб

изображения определится равенством:

~г

m= —.

S

(10.1)

Приближенно масштаб изображения в произвольной точки

проекции Гаусса — Крюгера можно вычислить по формуле:

m =1+ (10.2)

2R2

где у — ордината точки в проекции Гаусса — Крюгера; R — средний

радиус Земли.

281

знак «плюс», а западнее — знак «минус». Эти знаки совпадают со

знаками разностей долгот ЛЕ. Наличие знаков у координат точек

создает некоторое неудобство в пользовании. В связи с этим прак-

тикуется к вычисленным в проекции Гаусса — Крюгера значениям

ординат точек прибавлять 500 км и после этого впереди приписы-

вать номер зоны. Например, Москва находится в шестиградусной

зоне 7. Пусть точки А и В имеют соответственно ординаты

у„= +12 884,27 м и у, = — 20б Зб8,б9 м. Тогда их преобразованные орди-

наты будут соответственно равны у„= 7 512884,27 м и у = 7 293 б31,31 м.

Такое преобразование дает возможность получать однозначные

положительные координаты Х и У для точек на всей территории

Российской Федерации.

Представленная система плоских прямоугольных координат

является Единой Государственной системой координат Россий-

ской Федерации.

Трехградусные зоны располагаются так, что все осевые и гра-

ничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми мери-

дианами трехградусных зон, т. е. долготы осевых меридианов трех-

градусных зон кратны трем. Отсюда следует, что граничными ме-

ридианами трехградусных зон будут являться меридианы, долгота

которых кратна полутора градусам.

Относительное искажение длин линий выразится формулой

2

т — 1=

2R2

(10.3)

В пределах Российской Федерации ординаты могут достигать

значения 255 км, тогда относительная погрешность может соста-

вить величину порядка

1

т — 1=

1250

Такая относительная погрешность практически не имеет зна-

чения при мелкомасштабных съемках, включая масштаб 1:10 000.

Но при съемках в более крупном масштабе такие искажения недо-

пустимы. По этой причине при крупномасштабных съемках пере-

ходят от шестиградусных зон в трехградусные. Искажения при

таком переходе на краю зоны будут меньше примерно в четыре

раза.

Следует отметить, что при переходе от эллипсоида к плоскости

происходит удлинение ~ынии на величину

(10.4)

ЛЯ = S(m — 1),

называемую поправкой за редуцирования линии при переходе с эл-

липсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера.

Естественно предположить, что изменение длины линии при

переходе с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера,

влечет за собой и изменение площади. Легко показать, что относи-

тельное искажение площади выражается соотношением:

— 1+ — .

г

(10.5)

P Ra

Площадь участка, вычисленная по координатам в проекции Га-

усса — Крюгера, будет фактически больше площади на эллипсоиде

на ве~ычину

Из (10.2) следует, что на осевом меридиане, при у = О, масштаб

будет равен единице, а искажение равно нулю.

Так как в шестиградусной зоне на широте экватора ордината

принимает наибольшее значение у= 330 км, то наибольшее относи-

тельное искажение будет соответствовать величине

330' 1

т — 1=

2 б400' 800 '

НРНЕКЦНЯ ГАУССА- КРЮГЕРА. НОМЕНКЛА1УРА КАР1

Приведенные формулы (10.2) — (10.6) являются приближенны-

~и, но вполне могут быть применены при расчетах, связанных с

построением опорных межевых сетей и съемочных сетей.

° 1й.З. ПврпАвк перепила вт линий и плвщалвй мпетпвети па

плвекветь п п ввипии Га ееа-К агв а

При переходе от длин линий на физической поверхности Зем-

ли к их отображению на плане в проекции Гаусса — Крюгера прихо-

дится выполнять несколько операций, каждая из которых вносит

свои искажения как в длины линий, так и в площади образованных

линиями фигур. Рассмотрим каждое из этих действий:

Измеренное на местности расстояние между двумя точками А

и В должна быть спроецировано на горизонтальную плоскость

(рис. 10.2.), проведенную через точку А.

поверхность т. А

эллипсоид

Рис. 10.2. Переход от измеренного расстояния к горизонтальному

проложен ию и к проекции на референц-эллипсоид

При этом горизонтальное проложение S,„, есть

S„., = S~ cosv = S~ — ~„., = S~ — 25~ sin' —,

2

где S» — измеренное (физическое) расстояние между точками А и

В; v — угол наклона линии местности.

299

&l ;0 Геоде

В этом случае происходит уменьшение длины линии местности.

Далее, горизонтальное проложение линии местности проеци-

руется на поверхность референц-эллипсоида (рис. 10.2).

Горизонтальное проложение линии местности связано с ее

проекцией на эллипсоид соотношением:

S„., =S,. +S,.a€”,

H

"R

или

Н .,ч Н

Я Я Я Я Я я1п' Я

"" R 2 "' R

S„

где S,. длина линии на эллипсоиде, центр которой удален от осе-

вого меридиана на величину у; ЛЯ„, — величина искажения (удли-

нения) линии при переходе с эллипсоида на плоскость; R — сред-

ний радиус Земли.

2

Величину называют относительным искажением линии.

2R'

Тогда линия АВ на плане будет иметь значение S„,, вычисляемое

по формуле:

5'„р — — 5',„+ Л5'„р — — Я~ — 2 5~ is l Il — — 5'„,р — + 5'„

"" R "2R'

Следует отметить, что по такой формуле вычисления непо-

средственно не проводят. Формула приведена, чтобы проследить

всю цепочку преобразований от процесса полевых измерений до

изображения линии в проекции Гаусса — Крюгера.

Рассмотрим пример расчета величин поправок, получаемых на

различных этапах для линии местности длиной 1000,00 м, проходя-

щей под утлом наклона v = 1', расположенной на местности, имею-

где S„„a€” горизонтальное проложение линии местности; S„a€” его

проекция на поверхность эллипсоида; Н вЂ” средняя высота участка

над поверхностью эллипсоида; R — радиус Земли.

Эта процедура уменьшает значение горизонтального проложе-

ния линии местности тем больше, чем выше линия находится по

отношению к референц-эллипсоиду.

Следующим этапом происходит переход с поверхности эллип-

соида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера.

Рассмотрим величину искажения длины линии, средняя точка

которой отстоит от осевого меридиана на расстоянии у. Величина

этого искажения будет равна:

пр

2R'

ОРОЕ(ЦНЯ IAVCCA-E?IAA?A. НОМЕНКЛАТУРА КАРТ

,~ей среднюю высоту над поверхностью эллипсоида 300 м и располо-

женной в удалении от осевого меридиана на расстоянии у = 200 км.

При этих условиях

= 25 sin' — = 0,15 м.

Горизонтальное проложение равно

S = S — ЛЯ = 999,85 м.

При Н = 300 м величина искажения линии при переходе на ре-

ференц-эллипсоид равна

ЛЯ = S — = 999,85 ' = 0,05 м.

Н 0,3

"' R 6370

Д~ина линии АВ на эллипсоиде составит

S, = S„„a€” d5'„= 999,80 м.

При переходе от эллипсоида к плоскости в проекции Гаусса—

Крюгера происходит растяжение лини на величину, равную

~„, = Я„, = 999,80, = 0,49 м.

у' 100'

" 2R' 2 6370'

Тогда длина линии АВ на плоскости в проекции Гаусса — Крю-

гера будет иметь длину

S„p = Я„+ЛЯ„, =1000,29 м.

Естественно говорить и об искажениях площадей при переходе

от местности через проецирование на горизонтальную плоскость,

затем на поверхность эллипсоида и от нее на плоскость в проекции

Гаусса — Крюгера. Поэтапное искажение площади земельного

участка будет определяться следующими соотношениями:

— 2Рф„, sin

2

гор физ гор

dEP„= 2P„„a€”;

H

"" R

Р„= Рг„— ~„;

У

пр эл

R

Р = Р„+Ы„

где Р „, — площадь земельного участка на местности (физическая

площадь); ЛР„., — поправка за уклон местности, обеспечивающая

переход от физической местности на горизонтальную плоскость;

10