Билет 1

1. Простейшая вариационная задача. Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера. Методы решения.

2. Геометрические преобразования в трехмерной графике. Матрицы преобразования.

3. Составить электрическую схему автоматизированного рабочего места инженера на базе пэвм.

1.

Пусть дан функционал вида:

Необходимо найти X^*(t), при котором функционал принимает экстремальное значение. Для решения поставленной задачи, Эйлером был предложен математический аппарат, основанный на необходимом условии экстремума функционала, т.е. равенство нулю вариации функционала в точке экстремума. Пусть X^*(t) - решение вариационной задачи. Возьмем функцию близкую к X^*(t), при этом



Возьмем второй интеграл по частям:

Основная Лемма вариационного исчисления гласит из вариации вида (*) следует:

- Уравнение Эйлера.

Решение уравнения Эйлера является решением исходной вариационной задачи. В связи с тем, что искомая функция должна удовлетворять краевым условиям задача может иметь единственное решение, может иметь множество решений и может не иметь решений. Полученная в результате решения уравнения Эйлера функция, называется экстремалью, является лишь претендентом на решение исходной вариационной задачи. Для того чтобы удостоверится, что эта функция является решением, необходима проверка достаточных условий.

Прямые методы решения вариационных задач.

1. Метод Ритца.

Прямые методы заключаются в нахождении искомой функции, доставляющей экстремум функционалу непосредственно его подбором. При этом не используется необходимое условие экстремума функционала и не составляется уравнение Эйлера. Поскольку количество всевозможных функций среди которых может искаться экстремум велико. В методе Ритца предложено искать решение среди линейных комбинаций заранее заданных функций.

W_i - заранее известные заданные функции и не содержащие неизвестные коэффициенты.

- неизвестные коэффициенты.

После подстановки (**) в функционал подынтегральная функция представляет собой набор известных функций аргумента t с неизвестными коэффициентами. Интеграл может быть взят, в результате чего получим некоторую функцию

и для неё надо найти экстремум. Поскольку необходимо определить экстремум n - переменных, то задача сводится от вариационной к конечномерной. Полученную задачу можно решить двумя методами:

1. Решив систему алгебраических уравнений.

2. Любым методом нелинейного программирования.

2. Метод Конторовича.

Имеет ту же основу что и метод Ритца, однако здесь допускается нелинейная комбинация искомых функций.

Приимущества:

Может быть достигнута лучшая аппроксимация экстремали при меньшем количестве параметров , в то же время более сложен вопрос о подборе функций удовлетворяющих краевым условиям.

2. Конечноразностный метод Эйлера.

X_T

X₀

t_{0 T}

Интервал [t₀, T] разбивается на n отрезков и ищутся значения функций в n-1 точке узлов разбиения. Искомая функция заменяется ломаной. Для каждой ломаной по методу прямоугольников, трапеций или Симпсона ищется значение функционала и находится та ломаная при которой значение функционала экстремально. С увеличением n точность аппроксимации увеличивается.