1. Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно дифференцируемой функции и двух переменных.

Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Теорема 1. (необходимое условие локального экстремума функции). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. По условию теоремы существует конечная производная . Так как функция имеет в точке локальный экстремум, то она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Значит, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Тем самым доказано, что .

Теорема 1 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что если в той точке кривой , в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Ох.

Определение 3. Точки, которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками функции f(x).

Определение 4. Точки, которых производная функции не существует, но в них определена, называются критическими точками функции f(x).

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки , и пусть точка является стационарной точкой функции f(x). Тогда, если в пределах указанной окрестности производная f(x) положительна (отрицательна) слева от точки и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция f(x) имеет, в точке локальный максимум (минимум). Если же в пределах указанной окрестности точки производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.

Вытекающее из теоремы 2 правило можно кратко сформулировать так: 1) если при переходе через данную стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция имеет в точке локальный максимум (минимум); 2) если же при переходе через данную стационарную точку с производная не меняет знака, то экстремума в точке нет.

Пример. Найти точки экстремума функции .

Поскольку , то функция имеет две стационарные точки: x=0 и x=2. При переходе через точку x=0 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x=2 – с минуса на плюс. Следовательно, x=0– точка локального максимума, а x=2 – точка локального минимума.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в данной стационарной точке конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

Экстремумы функций двух переменных

Определение. Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки

При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: , .

Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные , . и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.

Пусть точка является стационарной точкой функции , т.е.

Вычислим в точке значение вторых частных производных функции и обозначим их для краткости буквами A, B и C:

Если , то функция имеет в точке экстремум: при A<0 и C<0 и минимум при A>0 и C>0 (из условия следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки).

Если , то точка не является точкой экстремума. Если , то неясно, является ли точка точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.

Пример. Найдём стационарные точки функции

Система уравнений (1.1) имеет вид:

Из второго уравнения следует, что или у=0 или х=-1. Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:

Вторые частные производные данной функции равны

В точке М1 имеем: A=10, B=0, C=2. Здесь ; значит, точка М1 является точкой экстремума, и так как A и C положительны, то этот экстремум - минимум. В точке М2 соответственно будет A=-20, B=0, C=-4/3. Это точка максимума. Точки М3 и М4 не являются экстремумами функции (т.к. в них ).