Глава 4

из физических соображений или вида статистического распределения выбира­ют тип теоретического распределения (в дальнейшем используются методы проверки статистических гипотез о согласии статистического распределения с теоретическим). Затем задача сводится к рациональному выбору его пара­метров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями наилучшее. Для этого может быть использован метод мо­ментов [23], согласно которому параметры теоретического распределения вы­бираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характери­стик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Если вид теоретического распределения за­ранее неизвестен, то для его выбора при N > 200 можно воспользоваться сис­темой кривых Пирсона.

Для экстремальных событий имеются свои характерные классы вероятно­стных распределений [24, 44]. Однако при управлении риском необходим учет опасных природных явлений, реализация которых маловероятна, но последст­вия велики (сильные наводнения, землетрясения и др.). С точки зрения стати­стики эти события представляют собой крайние «хвостовые» значения генера­льной совокупности и, как правило, они недооцениваются или пренебрегают-ся исследователями. Подобное игнорирование может привести к серьезным последствиям. Например, хозяйственное освоение без достаточного обосно­вания и принятия адекватных мер инженерной защиты территорий, подвер­женных редким, но сильным наводнениям, приводит рано или поздно к унич­тожению объектов техносферы.

Идентификация распределений редких событий, лежащих на хвосте рас­пределения (распределений с «тяжелыми хвостами»), требует подходов, от­личных от применяемых в случае обычных распределений. Например, для них практически бесполезной характеристикой является математическое ожида­ние, а для описания крупных событий уместно использовать другую характе­ристику, называемую масштабом. В течение существенного промежутка вре­мени суммарный эффект всех зарегистрированных событий оказывается соиз­меримым с максимальным из них (как это имеет место для устойчивых зако­нов распределения [24]). При этом сам процесс субъективно воспринимается как нестационарный. Лишь по мере накопления значительной статистики эта иллюзия пропадает. Однако увеличение интервала наблюдения ΔT сопровож­дается изменением условий реализации соответствующих случайных величин и, следовательно, их распределений.

Одним из рекомендуемых подходов является визуализация эмпирического распределения (применение вероятностных графических методов).

Распределение опасных явлений во времени (частота реализаций и прогноз времени наступления). Математический аппарат для определения показателей частоты реализаций опасного явления λ основан на рассмотрении распределе­ния реализаций опасного явления во времени. Представим их потоком слу­чайных событий. Будем считать этот поток обладающим свойствами ординар­ности (за достаточно малый промежуток времени происходит не более одной реализации), отсутствия последействия (после очередной реализации их час­тота не изменяется, хотя, разумеется, меры по предупреждению опасных явле­ний и снижению их последствий принимаются после каждой реализации)

82

Опасности территорий и видов деятельности

и стационарности (частота реализаций X(t) = const). При этих условиях поток реализаций опасного явления является простейшим пуассоновским, для кото­рого случайное число % реализаций, происходящих в течение времени At, рас­пределено по закону Пуассона

N

F(N) = P(^ < N) = 2_₁P (k), (4.1)

k=0

где P ( k) =—[a(At)]^k exp(-a(At)) — вероятность k реализаций в течение вре-k!

мени At; a(At) = XAt — параметр распределения Пуассона (среднее число a(At) = M[^] реализаций в течение времени At); X — частота реализаций (сред­нее число реализаций за единичный и достаточно малый интервал времени, (ед. времени)^-1).

При наличии статистических данных частота реализаций определяется по формуле

X=d / AT,

где d — число опасных явлений за интервал наблюдения AT.

Для пуассоновского потока время T между событиями подчиняется экспо­ненциальному закону, т. е. вероятность хотя бы одной реализации за время At в соответствии с (4.1) вычисляется по формуле

Q(At) = 1 -P(0) = 1 -exp(-XAt)). (4.2)

Соотношение (4.2) используется для определения частоты наступления не­восполнимого ущерба для конкретного объекта (субъекта), например, инди­видуальной вероятности смерти для человека.

C увеличением At возрастает и число событий. Когда a(At) ->• оо, распреде­ление Пуассона приближается к нормальному с параметрами M[^] и D[Z]. В этом случае приближенно в качестве (4.1) можно применять уравнение [101]

D [ >]

Практически нормальным приближением пользуются при a(At) > 100. Оно полезно для получения гарантированных оценок риска методами доверитель­ного оценивания.

Для редких событий (например, тяжелых радиационных аварий типа Чер­нобыльской), когда a(At) « 1 (практически при a(At) < 0,1), приближенно можно считать, что

Q(At) * a(At) = XAt.

При малых a(At) справедливо биномиальное распределение.

Пространственное распределение опасных явлений удобно изображать на карте. Например, зоны возможного затопления по информации о прогно­зируемом уровне подъема воды при наводнении удобно строить на трехмер­ной электронной карте местности. Электронные карты местности лежат в основе использования ГИС-технологий.

83