4.4. Планирование машинных экспериментов при имитационном моделировании

Задачи и проблемы планирования МЭ

Def. Машинный эксперимент (МЭ)– прогон имитационной модели исследуемой системы.

Цель МЭ – получение информации о системе для анализа ее характеристик, либо для поиска оптимального варианта ее структуры или значений параметров. Задача планирования МЭ – получение достаточного количества информации о системе при ограниченных вычислительных ресурсах.

При планировании МЭ следует учитывать ряд их особенностей, отличающих МЭ от натурных экспериментов, т.е. экспериментов над реальными объектами. Сюда относятся:

1) простота повторений условий эксперимента, а также варьирования его условий;

2) возможность управления МЭ, включая его прерывание и возобновление в любой момент;

3) возможность обеспечения большого числа реализаций МЭ.

Планирование МЭ призвано решить определенные проблемы их проведения.

1) Проблема начальных условий эксперимента. Она возникает вследствие искусственного характера процесса функционирования модели, которая в отличии от реальной системы, работает эпизодически, т.е. только когда исследователь запускает программу и проводит наблюдения. Всякий раз, когда начинается очередной прогон модели, требуется определенное время для достижения стационарных условий функционирования. Поэтому начальный период работы модели искажается вследствие того, что начальные условия не могут в точности совпадать со стационарным режимом (см. рис 3.2). Для решения этой проблемы при фиксации процесса функционирования модели исключают из рассмотрения информацию, полученную на начальной стадии прогона, а начальные условия подбирают так, чтобы уменьшить время достижения установившегося режима.

2) Обеспечение точности и достоверности результатов моделирования. Статистическое моделирование в принципе не может дать точного значения исследуемой характеристики Е системы, а дает лишь какую-то ее оценку . Точность этой оценки в значительной мере зависит от количества N реализаций (прогонов) модели – чем больше N, тем выше точность. Однако число реализаций не может быть бесконечно большим, т.к. любая вычислительная система, на которой реализуются МЭ, имеет ограниченный ресурс. Поэтому при планировании МЭ, в частности, при определении значения N, необходимо искать разумный компромисс между требуемой точностью решения и ресурсами вычислительной системы, реализующей имитацию.

В качестве показателя точности модели используются:

- величина – достоверность найденной оценки , она должна быть близка к 1;

- величина – дисперсия найденной оценки , она должна быть достаточно мала.

Обе эти величины зависят от N, поэтому значение N подбирают из заданного условия, которому удовлетворяет величина достоверности или дисперсии оценки . Методы определения значения N и оценки точности модели рассмотрим далее.

Теоретико-вероятностные основы планирования МЭ. МЭ могут быть повторены достаточно много раз, поэтому их теоретико-вероятностной основой в первую очередь являются предельные теоремы теории вероятностей – соотношения, условием соблюдения которых является неограниченное возрастание значения N. Рассмотрим основные из них.

1) Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А происходит с вероятностью р, то относительная частота появления событии А при N   сходится по вероятности к р. То есть , где m(A) – число наступлений события А.

2) Центральная предельная теорема. Если – независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием а и дисперсией ², то распределение суммы при N   неограниченно приближается к нормальному распределению с матожиданием Na и дисперсией N²:

= Ф() – Ф(),

где Ф(х) – функция Лапласа (функция нормального распределения, интеграл вероятности).

3) Теорема Муавра-Лапласа. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А происходит с вероятностью р, то распределение величины m(A) при N   неограниченно приближается к нормальному распределению с матожиданием Np и дисперсией Np(1–p). То есть

= Ф() – Ф(). (4.5)

Пример использования предельных теорем. Пусть цель МЭ – получение оценки вероятности наступления случайного события А. Согласно теореме Бернулли, оценкой является величина , т.к. она может при больших N быть сколь угодно близкой к истинному значению р. В качестве меры точности данной оценки примем достоверность, а именно, потребуем, чтобы выполнялось условие = Q , т.е. чтобы вероятность малого различия между р и (не более заданного ) была равна заданному числу Q. Или в соответствие с принятым выражением ,

= Q. (4.6)

Для оценки данной вероятности воспользуемся теоремой Муавра-Лапласа. При достаточно большом N можно положить в (4.5)

=

= .

Для выполнения требуемого условия (4.6) положим . Отсюда в силу (4.5) и (4.6) имеем уравнение

Q = ,

из которого надо найти N.

Обозначим – двухсторонняя Q-квантиль нормального распределения. Тогда получим формулу

. (4.7)

Пояснение. По определению функция распределения F(t) случайной величины  равна вероятности P( < t). Иными словами, зная t, можно по F(t) найти вероятность события ( < t). Квантиль же позволяет по известной вероятности найти значение t. Двухсторонняя Q-квантиль позволяет найти такое t, при котором вероятность события || < t равна заданному числу Q, т.е. найти корень уравнения Р(|| < t) = Q.

Значение t_Q можно найти либо по специальным таблицам, либо воспользовавшись qnorm – функцией MathCad, а именно, .

Недостаток полученной формулы (4.7) в том, что в ней фигурирует неизвестная величина р. Чтобы избежать этого на практике место р используют ее грубую оценку , где N₁ << N. Таким образом, при определении необходимого количества МЭ надо проделать следующие шаги:

1) провести предварительные МЭ с числом повторений N₁1000, фиксируя в них наступление события А и подсчитывая m(A);

2) вычислить р₁;

3) подставить р₁ в (7) вместо р и вычислить N.

После этого проводят основную серию МЭ с числом повторений N и находят более точную оценку .