Правило 1. В базис переводится параметр хJ, который имеет в целевой функции максимальный по модулю отрицательный коэффициент сJ.

Выбор х_K для вывода из базиса. Пусть х_K найден. Чтобы обновить базис надо из К-го уравнения симплекс-таблицы выразить х_J:

. (7.6)

Выражение (7.6) подставим в остальные уравнения системы (7.5) и целевую функцию. Получим при i = 1,… K – 1, K + 1,…, m:

. (7.7)

.

Новое базисное решение будет допустимым, если  i. Следовательно, должно быть . Правое неравенство должно выполняться, чтобы свободный член в выражении (7.6) был также неотрицательным. Поскольку в (7.5) b_i  0, то должно также быть a_{i J} > 0 для всех i. Все перечисленные требования будут удовлетворены, если номер К выбирать из условия:

. (7.8)

Правило 2. Номер к исключаемого из базиса параметра хK выбирается в соответствии с условием (7.8)

Окончание процесса. Предположим, что среди c_j нет отрицательных. Значит, перевод в базис любого х_j не приведет к уменьшению значения целевой функции. Следовательно, базиса лучше текущего не существует и найдено оптимальное решение задачи.

Правило 3. Если целевая функция не содержит отрицательных коэффициентов при х_j, то найденный базис оптимален

Условие отсутствия конечного решения. Предположим теперь, что при любом j, таком, что c_j < 0, среди a_{i j} нет положительных ни при каком i. Это означает, что из базиса нельзя вывести ни один из базисных параметров. С другой стороны, раз среди c_j есть отрицательные, то оптимальный базис не найден. Такая ситуация означает, что конечного оптимального решения не существует, т.е. lin q (x) = – . Так бывает, когда D не ограничена.

Правило 4. Если при c_j < 0 среди a_{i j} нет положительных ни при каком i, то задача ЛП не имеет конечного оптимального решения.

7.4. Метод искусственного базиса (м-метод)

Как было сказано выше, для применения симплекс-метода необходимо иметь начальную симплекс-таблицу, т.е. выражение базисных переменных через небазисные. Это просто сделать, если в симплекс-таблице имеется m столбцов, которые образуют диагональную матрицу с положительными диагональными элементами и при этом все b_i  0. Не теряя общности, можно считать эту матрицу единичной. Например

 .

В данном примере единичную матрицу образуют 1 и 3 столбцы.

Если такой матрицы нет, то ее достраивают, вводя искусственные переменные, при этом используют следующее правило: если среди ограничений имеем неравенство …  b_i и b_i  0, или равенство … = b_i также при b_i  0, то в левую часть этого ограничение добавляем + х_n+i , а в целевую функцию добавляем + Мх_n+i , где М – произвольное большое число, такое что М >> max | c_j |, например, можно положить М = 100 ( max | c_j | + 1). Неравенства типа …  b_i не требуют добавления искусственных переменных, т.к. их функции могут выполнять вспомогательные переменные, добавляемые при приведении задачи ЛП к канонической форме. Если какие-то b_i < 0, то это неравенство следует умножить на – 1.

Так как искусственные переменные имеют в целевой функции очень большие коэффициенты, то минимум q достигается, когда они равны 0, т.е. после их вывода из базиса.

Правило 5. Если выполнено условие правила 3 (найдена оптимальная точка), но в базисе содержатся искусственные переменные, то задача ЛП не имеет допустимых решений.

Пример 7.5. Пусть имеем задачу:

  .

Из последней системы невозможно вывести искусственный параметр x₅ ни заменой его на x₁ т.к. достигается при i = 1, ни заменой на x₄ т.к. при этом a_{i j} < 0. То есть, при любой замене получим недопустимый базис. Следовательно, задача не имеет допустимого решения.