Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВОПР 1 - 7_МОДЕЛИР_СИСТЕМ.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
616.96 Кб
Скачать

Правило 1. В базис переводится параметр хJ, который имеет в целевой функции максимальный по модулю отрицательный коэффициент сJ.

Выбор хK для вывода из базиса. Пусть хK найден. Чтобы обновить базис надо из К-го уравнения симплекс-таблицы выразить хJ:

. (7.6)

Выражение (7.6) подставим в остальные уравнения системы (7.5) и целевую функцию. Получим при i = 1,… K – 1, K + 1,…, m:

. (7.7)

.

Новое базисное решение будет допустимым, если i. Следовательно, должно быть . Правое неравенство должно выполняться, чтобы свободный член в выражении (7.6) был также неотрицательным. Поскольку в (7.5) bi  0, то должно также быть ai J > 0 для всех i. Все перечисленные требования будут удовлетворены, если номер К выбирать из условия:

. (7.8)

Правило 2. Номер к исключаемого из базиса параметра хK выбирается в соответствии с условием (7.8)

Окончание процесса. Предположим, что среди cj нет отрицательных. Значит, перевод в базис любого хj не приведет к уменьшению значения целевой функции. Следовательно, базиса лучше текущего не существует и найдено оптимальное решение задачи.

Правило 3. Если целевая функция не содержит отрицательных коэффициентов при хj, то найденный базис оптимален

Условие отсутствия конечного решения. Предположим теперь, что при любом j, таком, что cj < 0, среди ai j нет положительных ни при каком i. Это означает, что из базиса нельзя вывести ни один из базисных параметров. С другой стороны, раз среди cj есть отрицательные, то оптимальный базис не найден. Такая ситуация означает, что конечного оптимального решения не существует, т.е. lin q (x) = – . Так бывает, когда D не ограничена.

Правило 4. Если при cj < 0 среди ai j нет положительных ни при каком i, то задача ЛП не имеет конечного оптимального решения.

7.4. Метод искусственного базиса (м-метод)

Как было сказано выше, для применения симплекс-метода необходимо иметь начальную симплекс-таблицу, т.е. выражение базисных переменных через небазисные. Это просто сделать, если в симплекс-таблице имеется m столбцов, которые образуют диагональную матрицу с положительными диагональными элементами и при этом все bi  0. Не теряя общности, можно считать эту матрицу единичной. Например

.

В данном примере единичную матрицу образуют 1 и 3 столбцы.

Если такой матрицы нет, то ее достраивают, вводя искусственные переменные, при этом используют следующее правило: если среди ограничений имеем неравенство …  bi и bi  0, или равенство … = bi также при bi  0, то в левую часть этого ограничение добавляем + хn+i , а в целевую функцию добавляем + Мхn+i , где М – произвольное большое число, такое что М >> max | cj |, например, можно положить М = 100 ( max | cj | + 1). Неравенства типа …  bi не требуют добавления искусственных переменных, т.к. их функции могут выполнять вспомогательные переменные, добавляемые при приведении задачи ЛП к канонической форме. Если какие-то bi < 0, то это неравенство следует умножить на – 1.

Так как искусственные переменные имеют в целевой функции очень большие коэффициенты, то минимум q достигается, когда они равны 0, т.е. после их вывода из базиса.

Правило 5. Если выполнено условие правила 3 (найдена оптимальная точка), но в базисе содержатся искусственные переменные, то задача ЛП не имеет допустимых решений.

Пример 7.5. Пусть имеем задачу:

.

Из последней системы невозможно вывести искусственный параметр x5 ни заменой его на x1 т.к. достигается при i = 1, ни заменой на x4 т.к. при этом ai j < 0. То есть, при любой замене получим недопустимый базис. Следовательно, задача не имеет допустимого решения.