1.3 Дисипативні структури

Дисипативні структури – стійкі просторово неоднорідні структури, що виникають в результаті розвитку нестійкостей в однорідному нерівноважному дисипативному середовищі. Термін запропонований І. Пригожиним (I. Prigogine). Прикладом дисипативних структур можуть служити ячейки Бенара (чергування висхідних і низхідних конвекційних потоків в рідині), страти в плазмі, неоднорідні розподілення концентрацій в хімічних реакторах, перисті хмари та інші явища. Основи загальної теорії дисипативних структур сформульовані А. Тьюрингом (A. Turing) в 1952 році.

Найпростіші моделі дисипативних структур описуються двома динамічними змінними х, у, що залежать від часу t і однієї просторової координати r:

(1.11)

 Система (1.11) описує кінетику нелінійних процесів (фізичних, хімічних, біологічних і т. д.) з урахуванням міграції компоненти х та у в сусідні області простору. Величини D_x та D_y - коефіціенти дифузії, нелінійні функції P (х, у) та Q (х, у) описують приріст і збитки компонентів х та у. Якщо дисипативні структури утворюються на відрізку довжини L (0≤r≤L) з непроникними кінцями, граничні умови мають вид  при r = (0, L). Утворення дисипативних структур можливо при наступних умовах:

1) Одна зі змінних (наприклад, х) є "автокаталитичною", інша (у) - "демпфіруючою". Це означає, що в системі, що лінеаризована поблизу стаціонарного стану   такого, що , величина   додатня, а величина   від’ємна. Величини   та   також повинні мати різні знаки. Такі умови виконуються лише в термодинамічно нерівноважних відкритих системах; згідно термінології Пригожина, вони відносяться до області нелінійної термодинаміки.

2) Коефіціент дифузії автокаталізатора повинен бути менше коефіціента дифузії для демпфера (тобто D_x<D_y).

При виконанні умов однобічний стаціонарний стан  може втратити стійкість по відношенню до гармонійним збудженням з певною довжиною хвилі. Значення параметрів системи (*), при яких декремент затухання збуджень перетворюється в нуль, називаються біфуркаційними, а само явище - біфуркацією Тьюринга. Система відбирає із зовнішніх збуджень число гармонійних мод (в граничному випадку одну), які можуть зростати. Їх зростання стабілізується нелінійними членами функцій P(х, у) та Q(x, у). При значеннях параметрів, близьких до біфуркаційних, утворюється плавна гармонійна дисипативна структура. Далеко від точки біфуркації виникають контрастні дисипативні структури, які складаються з вузьких ділянок різкої зміни автокаталітичної змінної х, що чергуються з широкими ділянками плавної зміни змінних. При зворотному співвідношенні між коефіцієнтами дифузії (D_x>>D_y) в системі виникають автоволни. Всі вивчені моделі дисипативних структур розбиваються на два класа, які можна привести у відповідність з катастрофами типу "складка" и "сборка".

Клас диссипативних структур визначається числом экстремумів функції  , що є рішенням рівняння  .

У випадку одного екстремума (складка) контрастна дисипативна структура складається з ряда вузьких «піків» автокаталітичної змінної х(r), розділених довгими ділянками плавної зміни обох змінних. Якщо є два екстремума (сборка), то можливо утворення контрастних дисипативних структур ступінчастої форми, що складаються з широких ділянок підвищеної і зниженої місткості авто каталізатора; вузькі границі між ними – фронти різкої зміни х(r).

На відрізку довжини L може існувати декілька (багато) різних періодичних дисипативних структур, реалізація кожного рішення залежить від історії виникнення дисипативної структури. Контрастні дисипативні структури чутливі до малих неоднорідностей простору, тому можуть виникати достатньо стабильні неперіодичні дисипативні структури (в яких довжини плавних ділянок різні). Теорію дисипативних структур використовують для якісного описання явищ самоорганізації в природі.