1.2 Дисипативні системи з тертям (Теорія і. Пригожина)

    Окрім консервативних систем, нам потрібно розглянути також системи, що призводять до незворотніх процесів. Найпростішим прикладом такого роду можуть служити системи з тертям.

Більш за все, різниця між консервативними і дисипативними системами проявляється при спробі макроскопічного опису останніх, коли для визначення миттєвого стану системи використовуються такі колективні змінні, як температура, концентрація, тиск, конвективна швидкість і т. д. При розгляді рівнянь, керуючих поведінкою цих змінних, виявляється наступна їх важлива особливість: вони не є інваріантними відносно операції обернення часу на відміну від рівнять:

(1.1)

(1.2)

На цій підставі можна очікувати, що чергування відповідних подій буде незворотнім. 

В якості подальших прикладів дисипативних процесів можна розглянути теплопровідність і дифузію. Як показує експеримент, якщо в однорідній рідині виникає невелика неоднорідність, то вона з часом розпливається і поступово зникає. Аналогічна, однозначно напрямлена еволюція спостерігається у випадку невеликої зміни температури, внесеної швидко і локально в ізотермічну рідину. Кількісний опис цих явищ, узгоджений з експериментальними даними, надається наступними рівняннями, що називаються рівняннями Фіка і Фур’є відповідно:

(1.3)

(1.4)

де c - концентрація деякої речовини, розчиненої в рідині, Т - температура, D - масовий коефіціент дифузії, х - коефіціент температуропровідності.

При оберненні часу ми звону отримаємо зовсім інші закони:

(1.5)

Згідно цим рівнянням, початкове збудження температури чи концентрації буде не затухати, а зростати. 

Як концентрація, так і температура є прикладами "парних" змінних, оскільки знак цих змінних при оберненні часу не змінюється. Навпаки, імпульс частинок чи конвективна швидкість рідини є "непарними" змінними, оскільки вони є похідними за часом від змінних типу координати і змінюють знак при оберненні часу. Це призводить до наступної загальної властивості рівняння еволюції дисипативної системи. Позначимо повний набір макроскопічних змінних системи Х₁,…,Х_n.

Еволюція цих змінних у часі описується системою рівнянь:

(1.6)

Тут функції Fi можуть скільки завгодно складним чином залежати від змінних Х і іх просторових похідних і головним чином – від просторових координат r і часу t.       Тоді, якщо ми зробимо операцію обернення часу t' = - t, в дисипативній системі, то як найменш, одна з функцій швидкостей F_i  , що відповідає чіткій змінній Х_i  повинна містити інваріантну частину, в той час як функція швидкості F_i, що відповідає непарній змінній Х_i , повинна містити частину, що змінює знак при оберненні часу. Приклади функцій швидкостей першого класу надають праві частини рівнянь (1.1—1.3), прикладом же другого класу є вклад в’язкості в рівняння балансу імпульса рідини, що приймає участь в конвективному русі.      Як і у випадку консервативних систем, для дисипативних систем також можна ввести зручний фазовий простір. Він містить групу змінних і тому стає нескінченомірним простором у випадку безперервного середовища, де різні характеристики є просторово розподіленими величинами (див. рівняння 1.2 і 1.3). Тому зручніше за все працювати з фазовим простором, коли від має дискретне число змінних, і особливо коли це число скінченне і, бажано, невелике.

  Рисунок 1. Уявлення дисипативної системи в фазовому просторі. а — система, що описана однією змінною згідно з рівнянням (1),  б—система з двома змінними, рівняння (5).

Наприклад у випадку рівняння (1) фазовий простір зводиться до лінії, на якій і знаходиться фазова траекторія (рис. 1, а). Менш тривіальним прикладом є хімічна реакція, що описана наступною кінетичною схемою:

(1.7)

Відповідні кінетичні рівняння мають вид:

(1.8)

(1.9)

 Фазові траекторії для такої системи показані на рис. 1, б. Корисно мати на увазі, що деякі дисипативні системи можна привести до консервативного виду і до гамільтонової форми. Прикладом може бути відомий механізм Лоткі-Вольтерра:

(1.10)

В цій системі є деякий нетривіальний інтеграл руху, що відіграє роль «гамільтоніана». И все ж таки, незважаючи на свій ніби консервативний характер, ця систем неінваріантна відносно обернення часу, оскільки обидві змінні Х та Y є додатніми. Тому немає сенсу приписувати їм властивості, аналогічні імпульсу в класичній механіці, що необхідно для такої інваріантності. Поки ще не розглядалося питання о зв’язку між дисипативними і консервативними системами, а також питання о можливості переходу від одного опису до іншого.