Оценка параметров и анализ адекватности модели

Построение модели производилось прямым пошаговым методом.

На первом этапе параллельно пошагово строились две модели с количественными факторными переменными: аддитивная и мультипликативная. На каждой итерации пошагового метода выполнялись следующие действия: методом наименьших квадратов оценивались значения параметров модели (с использованием пакета электронных таблиц Microsoft Excel™), анализировались статистическая значимость коэффициента при переменной, введенной на данной итерации, и значение скорректированного коэффициента множественной детерминации. Если оказывалось, что переменную стоит вводить в модель, то проводился анализ остатков на наличие выбросов.

Наблюдения, соответствующие остаткам, классифицированным как выбросы, удалялись. Для оставшихся наблюдений оценивались значения коэффициентов регрессии, после чего переходили к следующей итерации. В результате были построены две модели, в которые вошли четыре количественные переменные (все, которые предполагались изначально, кроме возраста здания на момент оценки).

Сравнение полученных моделей показало, что аддитивная модель имеет лучшие показатели адекватности модели, в частности более высокий коэффициент множественной детерминации, чем мультипликативная модель. В таблице 7.9. приведены результаты регрессионного анализа для аддитивной модели с четырьмя количественными переменными.

Таблица 7.9. Результаты регрессионного анализа, представленные в форме Microsoft Excel™

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика Множественный R 0,816 R-квадрат 0,665 Нормированный R-квадрат 0,644 Стандартная ошибка 14,889 Наблюдения 69

Дисперсионный анализ   df ss MS F Значимость F   Регрессия 4 28211,55 7052,89 31,817 1,36E−14   Остаток 64 14187,12 221,674       Итого 68 42398,67           Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 96,133 9,607 10,006 1,03E−14 76,94 115,326 X1 −74,352 24,166 −3,077 0,003 −122,628 −26,075 X2 0,482 9,607 10,006 1,03E−14 76,94 115,326 X3 −7,335 5,256 −1,396 0,168 −17,835 3,164 X4 20,743 9,864 2,103 0,039 1,037 40,45

Из данных, представленных в таблице 7.9, видно, что после отбраковки наблюдений, которые порождают выбросы, из 90 наблюдений осталось 69.

Таким образом, результат выполнения первого этапа можно представить в следующем виде:

ŷ=	96,13 −	74,35x1 +	0,48x2 −	7,33x3 +	20,74x4 (7.24)
	(9,61)	(24,16)	(0,08)	(5,25)	(9,86)

где:

• ŷ — стоимость 1 м² внутренней площади помещения, US$;

• x₁ — средневзвешенный физический износ, в долях единицы;

• x₂ — стоимость улучшений на 1 м² внутренней площади, US$;

• x₃ — доля площади подвала в общей площади;

• x₄ — коэффициент инженерного обеспечения.

В скобках под коэффициентами уравнения приведены соответствующие среднеквадратические отклонения. Если стандартное отклонение превышает соответствующий модуль оценки параметра, то это означает смещённость полученной оценки параметра. В нашем случае полученные оценки оказались несмещёнными.

Адекватность построенной модели можно определить проанализировав остатки модели при помощи специальных статистических тестов. Остатки вычисляются как разница между фактическими значениями результирующей переменной y и значениями этой переменной, вычисленными при помощи модели.

Чтобы проверить, имеет ли распределение остатков неслучайный характер, используется статистический тест Дарбина-Уотсона. Результаты проведения этого теста показали отсутствие автокорреляции в построенной регрессионной модели. А это, в свою очередь, подтвердило наши предположения о включённых в модель факторах.

Количественным показателем адекватности также служит коэффициент детерминации R², который показывает долю дисперсии, объясняемой данной моделью в общей дисперсии. Для полученной модели коэффициент детерминации равен 0,67. Таким образом, полученная модель (5) приблизительно на 67% объясняет изменение стоимости, что является довольно неплохим показателем. Мы учли также тот факт, что наличие в модели большого числа факторов может вызвать необоснованный рост коэффициента детерминации. Для устранения этого недостатка рассчитывается скорректированный коэффициент детерминации, в нашем случае он равен 0,64, т. е. за счёт поправки величина коэффициента детерминации существенно не уменьшилась.

Кроме этого, нами были проверены гипотезы о статической значимости коэффициентов в уравнении регрессии (7.24). Все коэффициенты, кроме коэффициента при переменной x3, оказались статически значимыми. Это означает, что переменная x3 (доля подвальных помещений в общей площади) не оказывает существенного влияния на формирование стоимости объекта. Следовательно, можно сделать вывод, что не все эксперты учитывают факт расположения оцениваемых объектов в подвалах.

На втором этапе в модель включались качественные переменные. При этом строились три модели: аддитивная, мультипликативная и гибридная. Построение производилось пошаговым методом, однако в отличие от первого этапа, дальнейшая отбраковка выбросов не производилась.

Остановимся на построении гибридной модели. В эту модель количественные переменные входят аддитивно, а качественные переменные — мультипликативно. Для оценки значения регрессионных коэффициентов гибридной модели формировалась искусственная факторная переменная — её значения вычислялись по уравнению (7.24). Затем строилась мультипликативная модель, в которую в качестве первой переменной включалась искусственная переменная, а затем, пошагово, все качественные переменные. В результате была получена следующая гибридная модель:

ŷ = (96,13 − 74,35x₁ + 0,48x₂ − 7,33x₃ + 20,74x₄) ^1,0016 · (1,17)^x5 ·

· (1,18)^x6 · (0,82)^x7 · (0,87)^x8 · (0,88)^x9, (7.25)

где:

• ŷ — стоимость 1 м² внутренней площади помещения, US$;

• x₁ — средневзвешенный физический износ, в долях единицы;

• x₂ — стоимость улучшений на 1 м² внутренней площади, US$;

• x₃ — доля площади подвала в общей площади;

• x₄ — коэффициент инженерного обеспечения.

• x₅ — принадлежность объекта к зоне 3;

• x₆ — принадлежность объекта к зоне 4;

• x₇ — функциональное назначение — офисные помещения;

• x₈ — функциональное назначение — торговые помещения;

• x₈ — функциональное назначение — предприятие общественного питания.

Основные показатели адекватности полученной модели в линеаризованном виде:

• коэффициент детерминации R² = 0,74;

• скорректированный коэффициент детерминации R²_кор = 0,71;

• проверка значимости уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия подтвердила гипотезу, что уравнение в целом статистически значимо, что означает хорошее соответствие данным наблюдений (F = 30,1 ).

Эта модель оказалась лучше аддитивной и мультипликативной моделей, о чём свидетельствует рост скорректированного коэффициента детерминации с 0,64 до 0,71.

Никакая регрессионная модель не может быть точным отражением действительности. Формализация реальных зависимостей всегда связана с упрощениями. Поэтому в процессе анализа должно быть выявлено соответствие полученной модели реальной зависимости, должны быть найдены пути улучшения модели и определены возможности практической реализации достигнутых результатов.