11 Системы счисления. Двоичная система и ее использование в эвм.

Самой распространенной системой счисления в нашем мире является, конечно же, всем известная, десятичная система счисления (система с основанием 10). И не спроста - т.к. она имеет исторические корни. Одним из суждений является то, что наши предки использовали для счета пальцы рук, а их, как известно, десять. Я думаю, что вы все о ней конечно же слышали. Каждый день мы с ней сталкиваемся, т.к. практически все числовые записи, которые мы видим день ото дня, находятся именно в ней: цены в магазинах, номера страниц в любимой книге, практически весь курс арифметики и т.д. Так как эта система счисления десятичная, то, соответственно, в ней для записи чисел используется 10 знаков (цифр), а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Самая младшая цифра - это 0, а самая старшая - это 9 и она всегда на единицу меньше, чем основание (10). Самыми распространенными системами счисления в мире компьютеров являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.Двоичная - это родная система счисления компьютера (основание 2). Она используется компьютером для врутреннего представления данных. На самом низком уровне вычисления в компьютере происходят именно в двоичной системе. Очень упрощенно можно сказать так: мы пишем программу компьютеру на языке С++, компилятор переводит ее в язык, понятный компьютеру, а именно в машинный язык, а затем уже этот код исполняется процессором. Причем каждому кусочку двоичного кода соответствует определенное действие процессора. Для записи чисел в этой системе счисления используется всего лишь две цифры: 0, 1. Самая младшая цифра - это 0, а самая старшая - это 1, она, как обычно, на единицу меньше, чем основание (2). Почему именно двоичная система стала родной для компьютера по всей вероятности связано с тем, что информация в компьютере передается по проводам в виде сигналов, которые кодируются в двоичной системе. Двоичные числа, т.к. они состоят всего из двух цифр, длинее своих десятичных эквивалентов, поэтому программистам, которые пишут свои программы на языках низкого уровня (ассемблер, С++ также позволяет работать на низком уровне), не очень удобно использовать двоичные числа. Они предпочитают пользоваться восмеричной и шестнадцатеричной системами счисления, т.к. с помощью них можно сокращенно записывать двоичное число. Восмеричная система счисления (основание 8) использует цифры от 0 до 7, а шестнадцатеричная использует цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Эти буквы являются, соответственно, эквивалентами чисел десятичной системы 10, 11, 12, 13, 14, 15. На рисунке ниже представлены соответствия чисел в рассмотренных системах счисления.

Двоичная система счисления (Бинарная система счисления, binary) – позиционная система счисления с основанием 2. Для представления чисел используются символы 0 и 1.

Пример (пояснения см. в статье система счисления):

10010011₂=1 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 147₁₀

Соответствие первых двух десятков двоичной и десятичной систем счисления.
Десятичная	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Двоичная	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001
Десятичная	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Двоичная	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010	10011

Практическое применение двоичной системы затрудняется, во-первых, привычкой нашей к десятичной системе, приобретаемой с детства и, вероятно, отчасти унаследованной, и тем обстоятельством, что в двоичной системе для означения даже небольших чисел требуется гораздо большее число цифр, чем в десятичной. Так, например, 100 в десятичной системе будет изображаться 1100100 в двоичной, 1000 десятичной системы есть 1111101000 в двоичной и т. д.

Чтобы написать какое-нибудь число в двоичной системе, должно делить его последовательно на 2 и писать подряд, справа налево, остатки от деления. Например, чтобы написать 400 в двоичной системе, делим это число на 2, первое частное 200, остаток 0, второе частное 100, остаток 0, третье частное 5 0, остаток 0, четвертое частное 25, остаток 1, пятое частное 12, остаток 0, шестое частное 6, остаток 0, седьмое частное 3, остаток 0, восьмое частное 1, остаток 1, девятое и последнее частное 0, остаток 1, и так 400 десятичной системы пишется 110010000 в бинарной.

Переход от числа, написанного в двоичной системе, к десятичной, совершается простым сложением степеней числа 2, означенных в числе. Так, напр., число 110010000 в двоичной системе есть сумма 8-й, 7-й и 4-й степени двух, т. е. 256, 128 и 16, т. е. 400, ибо, как сказано выше, единицы на различных местах в написанном числе означают разные степени 2-х, которые вместе составляют данное число.