Перевірка правильності міркування за допомогою таблиць істинності

Перевірити за допомогою таблиць істинності, чи є наступне міркування логічно правильним.

“Якщо уряд не буде продовжувати політику збереження цін, то він втратить голоси фермерів. Якщо ж уряд буде продовжувати цю політику та не запровадить контроль над виробництвом, то триватиме перевиробництво. Без голосів фермерів уряд не переоберуть. Отже, якщо уряд переоберуть, й він не запровадить контроль над виробництвом, то триватиме перевиробництво.”

Проаналізуємо речення у заданому міркуванні й виділимо у кожному реченні прості висловлення. Для кожного простого висловлення уведемо коротке позначення – пропозиційний символ (атом). Маємо:

А – уряд продовжить політику збереження цін,

B – уряд втратить голоси фермерів,

C – уряд не запровадить контроль над виробництвом,

D – триватиме перевиробництво,

E – уряд переоберуть.

Використовуючи уведені символи та логічні зв’язки, побудуємо для кожного речення заданого міркування формулу логіки висловлень. При цьому враховуємо те, що логічна зв’язка  є аналогом частки «не», зв’язка  – аналогом сполучника «та», зв’язка  – аналогом сполучника «або», зв’язка  – аналогом звороту «якщо…, то…». Наприклад, переклад першого речення нашого міркування мовою логіки висловлень буде здійснюватися таким чином. Речення “Якщо уряд не буде продовжувати політику збереження цін, то він втратить голоси фермерів.” є складним, складнопідрядним. Воно утворюється за допомогою звороту, «якщо,…, то…», отже, формула, що буде перекладом цього речення має бути побудована з використанням логічної зв’язки . Визначимо, які формули мають бути перед знаком  та після нього. Для цього спочатку виділимо частину речення, що знаходиться між словами «якщо» й «то». Це фраза «…уряд не буде продовжувати політику збереження цін…». Вона побудована за допомогою висловлення «…уряд буде продовжувати політику збереження цін…» та частки «не». Для позначення висловлення «…уряд буде продовжувати політику збереження цін…» ми увели атом А. Аналогом частки «не» є логічна зв’язка . Отже, формулою, що є перекладом фрази «…уряд не буде продовжувати політику збереження цін…», являється формула А. Саме ця формула має стояти перед знаком . Тепер побудуємо формулу, що має стояти після знаку . Для цього проаналізуємо частину речення, що знаходиться після слова «то». Це є фраза «він втратить голоси фермерів». Займенник «він» тут використано замість слова «уряд». Для позначення висловлення «уряд втратить голоси фермерів» ми увели атом В. Отже, перекладом фрази «він втратить голоси фермерів» є формула В. Таким чином, перекладом речення “Якщо уряд не буде продовжувати політику збереження цін, то він втратить голоси фермерів.” є формула AB.

Аналогічно побудуємо формули-переклади інших речень заданого міркування. У результаті маємо:

(AC) D, BE, (EC) D.

Отже, початкова задача зводиться до перевірки того, чи є формула (EC) D логічним наслідком формул AB, (AC) D, BE. Для розв’язання цієї задачі досить переконатися у тому, при кожній інтерпретації, при якій формули AB, (AC) D, BE приймають значення 1 («істина»), формула (EC) D також приймає значення 1. Зауважимо, що формули AB, (AC) D, BE приймають значення 1 при інтерпретації І тоді й тільки тоді, коли формула (AB)((AC) D)(BE) приймає значення 1 при І.

Побудуємо усі можливі інтерпретації формули F=(AB)((AC) D)(BE) й виділимо ті з них, при яких F приймає значення 1. Перевіримо, чи приймає формула (EC) D значення 1 при кожній інтерпретації, при якій F приймає значення 1. При обчисленні істинносних значень формул F та (EC) D користуємося таблицями істинності, тобто визначеннями логічних операцій , ,  та , поданими у вигляді таблиць. Результати обчислень заносимо у таблицю:

(A		B)		((А		С)		D)		(B		E)	|=	(E		C)		D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0		0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1	1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Розглянувши усі інтерпретації, при яких формула F приймає значення 1, можна побачити, що формула (EC) D також приймає значення 1 при кожній з цих інтерпретацій. Отже, формула (EC) D є логічним наслідком формул AB, (AC) D, BE, а значить задане міркування є логічно правильним.