Метод перевірки суперечності й тавтологічності формул шляхом зведення до диз’юнктивної та кон’юнктивної нормальної форми

Тавтологічність формули можна перевірити шляхом зведення її до кнф. Наприклад, (PQ)  Q  P = (PQ) Q  P = ((PQ) Q) P = (PQ)QP = (PQ)  Q P = (P Q P) (Q Q P) = 1 1 = 1. Отже, формула (PQ)  Q  P є тавтологією.

Суперечність формули можна довести шляхом перетворення її у днф. Наприклад, (PQ)  Q P = (PQ) QP = (PQP) (Q QP) = 0  0 = 0. Отже, формула є суперечною.

Метод Девіса й Патнема

Метод Девіса й Патнема дає можливість перевіряти суперечність множини диз’юнктів. Він базується на чотирьох правилах.

1. Правило тавтології. З множини диз’юнктів S вилучаються усі тавтологічні диз’юнкти. Множина S, що залишилася, суперечна тоді й тільки тоді, коли S суперечна. Зокрема, якщо S=, то S – несуперечна.

2. Правило однолітерних диз’юнктів. Якщо в S існує одиничний диз’юнкт {L}, то спочатку будуємо множину S, вилучаючи з S ті диз’юнкти, що містять літеру L. Якщо S=, то множина S несуперечна, й на цьому робота завершується. Якщо S, то будуємо множину S, викреслюючи з S усі входження літери L. Множина S суперечна тоді і тільки тоді, коли S суперечна. Зауважимо, що якщо {L} – одиничний диз’юнкт, то при викреслюванні L він перетворюється на .

3. Правило чистих літер. Назвемо літеру L, що входить у деякий диз’юнкт з S, чистою в S, якщо літера L не входить в жоден диз’юнкт з S. Якщо літера L є чистою в S, вилучаємо з S усі диз’юнкти, що містять L. Позначимо через S множину диз’юнктів, що залишилися. S суперечна тоді і тільки тоді, коли S суперечна.

4. Правило розщеплення. Подамо множину S у вигляді (A₁ L)…(A_mL)(B₁L)…(B_nL)R, де A_i (i = 1,…,m), B_j (j = 1,…,n), R не містять літер L і L. Побудуємо множини S₁ = A₁…A_mR і S₂ = B₁…B_nR. S суперечна тоді і тільки тоді, коли S₁ і S₂ суперечні.

Для перевірки суперечності множини диз’юнктів S методом Девіса й Патнема слід дотримуватися поданого порядку правил, вибираючи для поточної множини диз’юнктів перше застосовне правило.

Приклад 5. Перевіримо за допомогою методу Девіса й Патнема суперечність множини S = {PQR, PQ, P, R, T. За правилом 2 (з диз’юнктом P) маємо множину S₁ = {QR, Q, R, T}. За правилом 2 (з диз’юнктом R) маємо множину S₂ = {Q, Q, T}. За правилом 2 (з диз’юнктом Q) маємо множину S₃ = {, T}, яка є суперечною. Отже, початкова множина диз’юнктів S суперечна.

Метод резолюцій

Розглянемо логічне числення, формулами якого є формули логіки висловлень у кнф (множини диз’юнктів), а множина правил виведення містить єдине правило – правило резолюції.

Правило резолюції. Нехай С₁, С₂ – диз’юнкти й С₁=D₁L, С₂=D₂L, де D₁, D₂ – диз’юнкції літер, можливо, порожні, L, L – контрарні літери. Будемо говорити, що диз’юнкт C=D₁D₂ утворюється за допомогою правила резолюції з диз’юнктів С₁ та С₂. Диз’юнкт С називається резольвентою диз’юнктів С₁ та С₂.

Приклад 6. Застосуємо правило резолюції до диз’юнктів С₁ = RQ та С₂ = QP й побудуємо їх резольвенту. Оскільки С₁ та С₂ містять відповідно літери Q та Q, що складають контрарну пару літер, до них застосовне правило резолюції. Маємо резольвенту С = RP диз’юнктів С₁ та С₂.

Теорема 2. Нехай С₁, С₂ – диз’юнкти, С – резольвента С₁ та С₂. Тоді С є логічним наслідком С₁ та С₂.

Числення з правилом резолюції дає змогу доводити суперечність формул логіки висловлень. Основою для цього є така теорема.

Теорема 3 (про повноту). Множина диз’юнктів S суперечна тоді й тільки тоді, коли у численні з правилом резолюції існує виведення пустого диз’юнкту  з S.

Приклад 7. Доведемо суперечність множини диз’юнктів S = {PQ, PQR, P, R, T, побудувавши виведення  з S.

1. PQR диз’юнкт в S

2. PQ диз’юнкт в S

3. P диз’юнкт в S

4. R диз’юнкт в S

5. T диз’юнкт в S

6. PR резольвента 1 та 2

7. R резольвента 3 та 6

8.  резольвента 4 та 7