Мова логіки висловлень

Висловленням будемо називати стверджувальне речення, яке може бути істинним або хибним, але не тим і іншим разом. Приклади висловлень: «Київ – столиця України»; «Цей юнак – студент нашого університету». «Істина» або «хибність», приписані деякому висловленню, називаються істинносними значеннями цього висловлення і позначаються 1 і 0 відповідно. Будемо використовувати великі літери (можливо, з індексами) або ланцюжки таких літер для позначення висловлень. Наприклад, ми можемо позначити висловлення таким чином:

U: «Земля обертається навколо Сонця.»

Q: «Троянда є рослиною.»

P: «Ольга навчається в університеті.»

Символи U, Q, P й т.п., що позначають висловлення, будемо називати атомарними формулами, або атомами. Для побудови складних висловлень у природній мові користуються сполучниками, наприклад: «Зараз іде дощ, і небо захмарене», «Якщо мами немає вдома, то ця дівчинка сумує», «Якщо літо буде спекотним або до нас приїдуть родичі з Сибіру, то ми будемо відпочивати у горах», «Матриця має обернену тоді і тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю».

У логіці висловлень для побудови з атомарних формул складених виразів будемо використовувати логічні зв’язки:  («не»),  («та»),  («або»),  («якщо …, то»),  («тоді і тільки тоді, коли»). Дамо рекурсивне визначення формули (або правильно побудованого виразу) логіки висловлень.

1. Атом є формулою.

2. Якщо F – формула, то (F) – формула.

3. Якщо F₁, F₂ – формули, то (F₁)(F₂), (F₁)(F₂), (F₁)(F₂), (F₁)(F₂) – формули.

4. Якщо F – формула, то (F) – формула.

5. Інших формул немає.

Приклади формул: (P) ((Q)  (((P)  (R)))); ((Q)  ((P)  ((R)))); (((Q)  (P))), (((Р)(Q)))(((R))((Q))). Вирази P, PQ, PQ, R() не є правильно побудованими.

Якщо вважати, що логічним зв’язкам приписано ранг, що зменшується згідно з таким порядком: , , , , , й умовитися, що зв’язка з більшим рангом має більшу область дії, то без деяких дужок у формулах можна обійтися. Крім того, домовимося опускати зовнішні дужки формули та дужки біля атомів. Таким чином, RPQ означає ((R)((P)(Q))),PQRQP означає ((P)((Q)(R)))((Q)(P)), PQR означає (((P)((Q)))(R)).

Нехай F, F₁, F₂ – формули. Зв’язок між істинносними значеннями F, F₁, F₂ й істинносними значеннями формул F, F₁F₂, F₁F₂, F₁F₂, F₁F₂ визначається такими таблицями істинності:

F₁ F₂ F₁  F₂ F₁  F₂ F₁  F₂ F₁  F₂ F F

------------------------------------------------------------------ ----------

0 0 0 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1

Користуючись таблицями істинності, можна обчислити істинносне значення будь-якої формули, виходячи з істинносних значень атомів, що входять в неї. Розглянемо, наприклад, формулу F: QPQR. Атомами у ній є Q, P, R. Якщо істинносними значеннями Q, P й R є відповідно 0, 0 й 1, то, за таблицями істинності, Q=1, QP=0, QR=1, а F приймає значення 1. Якщо атомам Q, P й R приписати значення 1, 1, 0, то F приймає значення 0.

Нехай F – формула, A₁,…, A_n – усі попарно різні атоми, що входять в F. Інтерпретацією формули F називається таке відображення h множини атомів A₁,…, A_n у множину істинносних значень 0,1, що для будь-яких формул F₁ та F₂, що містять атоми A₁,…, A_n, h(F₁F₂)=h(F₁)h(F₂), h(F₁F₂)=h(F₁)h(F₂), h(F₁F₂)=h(F₁)h(F₂), h(F₁F₂)=h(F₁)h(F₂), h(F₁)= =h(F₁).

Якщо A₁,…, A_n – усі атоми, що входять у деяку формулу, зручно подавати інтерпретацію цієї формули у вигляді множини {m₁,…,m_n}, де m_i – це A_i, якщо A_i приймає значення 1 при даній інтерпретації, або A_i, якщо A_i приймає значення 0 при даній інтерпретації. Наприклад, множина {P, Q, R} представляє інтерпретацію, при якій атомам P і Q приписано значення 0, а атому R – значення 1.

Формула F називається істинною (хибною) при даній інтерпретації, якщо F приймає значення 1 (0) при цій інтерпретації.

Твердження 1. Якщо формула містить n різних атомів, то вона має 2ⁿ різних інтерпретацій.

Формула називається тотожно істинною (тавтологією), якщо вона істинна при усіх можливих інтерпретаціях.

Формула називається тотожно хибною (суперечною), якщо вона хибна при усіх можливих інтерпретаціях. Формула називається несуперечною, якщо вона не є тотожно хибною.

Приклад 1. Формула PP є тавтологією; формула PP суперечна. Формула PQ несуперечна, але не є тавтологією.

Формула F називається логічним наслідком формул F₁,…, F_n (позначається F₁,…,F_n ╞═ F), якщо при кожній інтерпретації, при якій усі формули F₁,…, F_n істинні, формула F також істинна. Говорять, що формули F₁,…, F_n є посилками F, а формула F випливає з F₁,…, F_n.

Приклад 2.

1. Формула PQ є логічним наслідком формул P та Q.

2. Формула PQ не є логічним наслідком формул Q та PQ, оскільки існує інтерпретація {P, Q}, при якій і Q, і PQ істинні, а PQ хибна.

3. Чи випливає твердження «Якщо спекотно, то дощ не йде» з тверджень: «Дощ іде або спекотно», «Якщо дощ не йде, то спекотно», «Якщо дощ іде, то не спекотно»?

Щоб відповісти на це запитання, спочатку запишемо дані твердження як формули логіки висловлень. Нехай D означає «Дощ іде», а S означає «спекотно». Тоді початкова задача зводиться до перевірки того, чи є формула S D логічним наслідком формул DS, DS, D S. Оскільки формула S D істинна при тих інтерпретаціях, при яких істинні формули DS, DS, DS, то SD є логічним наслідком цих формул. Отже, твердження «Якщо спекотно, то дощ не йде» випливає з поданих тверджень.

Поняття логічного слідування, суперечності і тавтологічності пов’язані між собою. Цей зв’язок визначає така теорема.

Теорема 1. Нехай F₁, F₂, …, F_n, F – формули.

1) F₁,…,F_n╞═ F тоді і тільки тоді, коли формула F₁(F₂(…F_n)…)F є тотожно істинною (тавтологією).

2) F₁,F₂,…,F_n╞═ F тоді і тільки тоді, коли формула F₁(F₂(… (F_n  F)…) тотожно хибна (суперечна).