Глава 3. Теория графов

3.1. Основные понятия

№3.1.1. Для графов, приведенных на рис.1., выполните следующие задания:

1. определите степени и полустепени вершин;

2. укажите содержащиеся в них:

а) контуры (циклы),

б) петли,

в) узлы,

г) висячие вершины;

3. определите, какие из графов являются:

а) ориентированными,

б) однородными,

в) полными,

г) мультиграфами.

1 . х₂ х₃ 2. х₂ х₃

х₁ х₄

х₁ х₄

х₃ х₃

3 . х₂ 4.

х₄ х₂ х₄

х₁ х₅

х₁ х₅

№3.1.2. По заданным полустепеням вершин постройте, если это возможно, ориентированный граф:

1. Р₊(х_i)=1, P_(x_i)=1, i=1,…,4;

2. P₊(x₁)=P₊(x₂)=P_(x₂)=P_(x₃)=1,

P₊(x₃)=P_(x₁)=2;

3. P₊(x_i)=i, P_(x_i)=6-i, i=1,…,5.

№3.1.3. По заданным степеням вершин постройте, если это возможно, неориентированный граф:

1. P(x_i)=3, i= 1,…,4;

2. P(x_i)=i, i=1,…,5;

3. P (x₁)=1, P (x₂)=2, P (x₃)=7.

№3.1.4. Определите, являются ли следующие графы эйлеровыми (гамильтоновыми). Если да, то укажите эйлеров (гамильтонов) цикл.

1. х₂ х₃ 2. х₂ х₃

х₆

х₅ х₆ х₄

х₁ х₄ х₁ х₅

х₃ х₄ х₅

4.

3 . х₁ х₉ х₁₀ х₆ х₂ х₃

х₁ х₈ х₁ х₇ х₈ х₄

х₆ х₅

`

№3.1.5. Укажите, если он существует, изоморфизм следующих графов:

1 . х₂ х₃ у₂ у₃

и

х₁ х₄

у₁ у₄

у₂ у₃

2. х₂ х₃

и

у₁ у₄

х₁ х₄

3 . х₂

у₂ у₃

и

х₄

х₁ х₃ у₁ у₄

х₃ у₂ у₃

4 .

х₂ х₄

и

у₁ у₄

х₁ х₅

у₅

№3.1.6. Перечислите все неизоморфные между собой подграфы данного графа:

1 . 2.

№3.1.7. Являются ли следующие графы плоскими:

1 . 2. х₃ х₄ х₅

х₂ х₆

х₇

х₁ х₈

№3.1.8. В графе 4) из №1.4.:

1. слейте вершины: а) х₂ и х₄, б) х₂ и х₅;

2. стяните ребро: а) (х₈х₄), б) (х₇х₅).

№3.1.9. Для графов из №1.1. составьте матрицы смежности и инцидентности.

№3.1.10. По данной матрице смежности постройте ориентированный граф и, если это возможно, неориентированный граф. Определите степени и полустепени вершин.

1) 0 1 0 2) 0 1 1 3) 0 1 1 1 4) 0 1 1 1

1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

№3.1.11. По данной матрице инцидентности постройте граф. Определите степени (полустепени) вершин.

1. -1 0 1 -1 2) 1 1 0

1 -1 0 -1 1 0 1

0 1 -1 0 0 1 1

3 ) -1 -1 1 0 -1 0 4) 0 1 0 0 1

-1 1 0 -1 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 -1 0 0 1 1 1

0 0 -1 0 0 1 1 0 1 0 0