1.3. Системы массового обслуживания с ограниченной очередью.

Задача 1.3.1. На АЗС установлены n бензоколонок и имеется автомобильная стоянка, рассчитанная на m автомобилей. Стоянка на проезжей части в районе АЗС запрещена. Заправка одного автомобиля занимает в среднем T_ОБСЛ минут. За 1 час в среднем для заправки подъезжает  автомобилей. Для заправки 1 автомобиля требуется в среднем V литров бензина, средняя цена которого равна C рублей за 1 литр. Продолжительность рабочего дня равна Т_ДН часов, и прибыль составляет P% от оборота. Установка дополнительной бензоколонки обходится в K рублей и уменьшает вместимость m автомобильной стоянки на 1 автомобиль. Данные по вариантам приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

№ вар.	1	2	3	4
n	4	5	3	6
m	5	6	7	6
Tобсл	10	15	6	12
	20	20	36	30
V	25	25	30	35
C	2	2,5	2,3	2,4
Tдн	10	10	12	12
P%	10	10	15	12
K	60000	90000	45000	50000

Выполните следующие задания.

1. Изобразите граф состояний СМО.

2. Составьте уравнения Колмогорова для финальных вероятностей.

3. Найдите финальные вероятности всех состояний.

4. Определите основные показатели работы СМО с очередью:

1) вероятность отказа P_ОТК;

2) вероятность обслуживания P_ОБСЛ;

3) плотность потока обслуживания _ЭФФ;

4) плотность потока отказов  _ОТК;

5) среднее число занятых каналов K_СР;

6) среднее число простаивающих каналов K_ПР;

7) коэффициент использования каналов обслуживания k_исп;

8) коэффициент простоя каналов обслуживания k_пр;

9) среднюю длину очереди М_СР;

10) среднее время заявки в очереди T_ОЧ.

5. Какова прибыль АЗС за 1 месяц (30 рабочих дней)?

6. За какой срок окупится установка ещё одной бензоколонки?

Задача 1.3.2. Фирма “WASH” торгует бытовой техникой со склада в Москве. Телефонная служба компании располагает N- канальной телефонной системой, которую обслуживают n операторов. В среднем за 1 час в справочную службу обращается  потенциальных покупателей. Среднее время обслуживания одного абонента равно Т_ОБСЛ минут.

Данные по вариантам приведены в таблице 3.2а.

Таблица 3.2а.

№ вар	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N	10	11	12	14	15	16	15	15	18	12
n	6	9	8	12	10	12	10	12	12	8
	36	63	32	60	48	80	63	90	64	54
Tобс.	7,5	6	12	5	7,5	10	10	7,5	6	5
Cтс	240	360	480	210	240	280	300	450	360	360
Tтс	8	10	16	7	5	12	10	15	12	8
Sар	150	140	120	160	100	140	120	130	190	150
Sтех	50	40	30	60	30	35	45	55	40	30
Sаб	0,5	0,4	0,3	0,2	0,4	0,3	0,2	0,3	0,2	0,25
Sзп	56	65	52	72	54	48	45	55	65	70
PЗП	39	39	39	39	39	39	39	39	39	39
PИЗД	55	45	50	45	50	55	45	50	60	50
PПР	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
PНДС	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
TМ	300	360	300	360	270	240	270	300	330	360
CСР	200	150	250	170	160	190	210	180	230	260
PПК	2	3	1,5	3	4	3	2,5	3	1,8	1

Выполните следующие задания.

1. Изобразите граф состояний СМО.

2. Составьте уравнения Колмогорова для финальных вероятностей.

3. Найдите финальные вероятности всех состояний.

4. Определите основные показатели работы СМО с очередью:

1) вероятность отказа P_ОТК;

2) вероятность обслуживания P_ОБСЛ;

3) плотность потока обслуживания _ЭФФ;

4) плотность потока отказов  _ОТК;

5) среднее число занятых каналов K_СР;

6) среднее число простаивающих каналов K_ПР;

7) коэффициент использования каналов обслуживания k_исп;

8) коэффициент простоя каналов обслуживания k_пр;

9) среднюю длину очереди М_СР;

10) среднее время заявки в очереди T_ОЧ.

5. Определите текущие расходы и ежемесячную прибыль фирмы, если известны:

1) стоимость телефонной системы C_ТС [у. е.];

2) срок эксплуатации телефонной системы T_ТС [лет];

3) стоимость аренды и эксплуатации помещения службы S_АР [у. е./месяц];

4) стоимость технического обслуживания 1 канала связи S_ТЕХ [рублей/месяц];

5) стоимость 1 минуты использования 1 телефонного канала связи S_АБ [рублей/мин];

6) размер заработной платы 1 оператора S_ЗП [у. е./месяц];

7) процент от оборота издержек на закупку, доставку и хранение товара P_ИЗД[%];

8) процент налога на прибыль P_ПР[%];

9) процент налога на фонд заработной платы P_ЗП[%];

10) процент налога на добавленную стоимость P_НДС[%];

11) средняя продолжительность рабочего времени за 1 месяц T_М [час/месяц];

12) средняя цена продажи 1 единицы товара (например, холодильника) C_СР [у. е.];

13) средний процент совершивших покупку от общего числа обратившихся в телефонную службу клиентов P_ПК[%].

6. Постройте (дискретный) график зависимости прибыли фирмы F от числа операторов при неизменной заработной плате (n=1,2,3,...,N).

7. Найдите оптимальное число операторов n, для которого прибыль F фирмы максимальна .

8. Найдите оптимальную заработную плату Sopt при неизменном числе операторов n, приведенном в таблице 3.2а, учитывая зависимость среднего времени обслуживания T_ОБСЛ от величины заработной платы, заданную таблицей 3.2б.

Таблица 3.2б.

SЗП	15	25	35	45	55	65	75	85	95
TОБСЛ	20	15	12	10	7,5	6	5	4,8	4

9. Постройте график зависимости прибыли F от величины заработной платы S_ЗП.

Задача 1.3.3. Парикмахер Михаил Вздорнов накопил первоначальный капитал S_КАП и решил открыть свой салон “New Image” в Москве. Для этого он приобрел помещение с полезной площадью S [м²] по цене C[рублей/ м²] . Для оборудования одного рабочего места мастера требуется площадь S_Р [м²] и сумма капитальных вложений V_Р [рублей], а для создания одного места отдыха клиентов - S_О [м²] и V_О [рублей]. Проведенное статистическое исследование показало, что средняя плотность потока посетителей равна  [клиентов/час]. Среднее время обслуживания клиента мастером составляет T_ОБСЛ [минут], а продолжительность рабочего дня T_ДН [час]. При этом заработная плата мастера равна S_ЗП [рублей], и средняя цена обслуживания одного клиента - C_КЛ [рублей]. Издержки на содержание помещения и оборудования, закупку необходимых материалов, НДС и т.п. составляют P_ИЗ [%] от цены C_КЛ, налог на фонд заработной платы - P_ЗП [%]. В салоне оборудовано n рабочих мест и m мест для отдыха

Данные по вариантам приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3.

№ варианта	1	2	3	4
SКАП	490000	370000	240000	1000000
S	110	90	65	150
C	4000	3600	3000	6000
SР	10	8	6	12
VР	7000	6000	5000	10000
SО	7	6	4	9
VО	1500	1400	1300	2500
	9	16	14	25
TОБСЛ	20	15	18	24
TДН	12	10	9	8
SЗП	1000	1100	900	1200
CКЛ	50	60	45	80
PИЗ	60	55	50	45
n	4	5	6	8
m	10	8	6	4

Выполните следующие задания.

I. Для данных в таблице 3.3 чисел n и m:

1. изобразите граф состояний СМО;

2. составьте уравнения Колмогорова для финальных вероятностей;

3. определите финальные вероятности всех состояний;

4. найдите показатели работы салона как СМО с очередью:

1) вероятность отказа P_ОТК,

2) вероятность обслуживания P_ОБСЛ,

3) плотность потока обслуживания _ЭФФ,

4) плотность потока отказов  _ОТК,

5) среднее число занятых каналов K_СР,

6) среднее число простаивающих каналов K_ПР,

7) коэффициент использования каналов обслуживания k_исп,

8) коэффициент простоя каналов обслуживания k_пр,

9) среднюю длину очереди М_СР,

10) среднее время заявки в очереди T_ОЧ;

5. Найдите ежемесячную прибыль фирмы F_Ф;

6. Определите время окупаемости сделанных М. Вздорновым капитальных вложений T_ОК .

II. Считая, что вся незанятая рабочими местами полезная площадь отводится для оборудования мест отдыха клиентов,

1. найдите оптимальное сочетание числа рабочих мест n и числа мест m для отдыха клиентов, дающее максимальную прибыль,

2. определите срок окупаемости T_ОК для оптимальных значений m и n.