МИНИСТЕРСТВО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ И ТОРГОВЛИ РФ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
М.В.ЗАЙЦЕВ, А.А.БЕЛЯЕВ, Г.П.ФОМИН
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
С б о р н и к з а д а ч
Часть II
Москва 2003
МИНИСТЕРСТВО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ И ТОРГОВЛИ РФ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Одобрено УМС факультета
Протокол №__________
«____»_______200 года
Председатель_________
М.В. Зайцев, а.А. Беляев, г.П. Фомин
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Сборник задач
Часть II
Рекомендовано
кафедрой ВиПМ
Протокол № 10
«____»______200 года
Зав. кафедрой________
Москва 2003
Содержание:
Глава 1. Теория массового обслуживания:
Простейший поток событий.
Системы массового обслуживания с отказами.
Системы массового обслуживания с ограниченной очередью.
Системы массового обслуживания с ожиданием.
Глава 2. Динамическое программирование.
Глава 3. Теория графов:
3.1. Основные понятия.
3.2. Сети и потоки в сетях.
3.3. Задача о назначениях.
3.4. Сетевой график.
Глава 1. Теория массового обслуживания.
1.1. Простейший поток событий.
Задача 1.1.1. Обычно студент Фёдор Успевалов выходит на остановку ровно в 8 часов утра и, сев в первый пришедший автобус, идущий в направлении МГУК, вовремя прибывает на занятия, которые начинаются ровно в 9 утра. Известно, что интервалы движения нужного автобуса составляют в среднем 10 минут, а время в пути автобуса от остановки до университета равно 30 минутам. Пусть выполнены все 3 условия, гарантирующие, что поток автобусов является простейшим. Выполните следующие задания и ответьте на перечисленные ниже вопросы.
1. Перечислите эти 3 условия.
2.Найдите вероятность того, что Фёдор всё же опоздает на занятия .
3. Как изменится эта вероятность, если из-за переполненности транспорта он сможет сесть только
а) во второй,
б) в третий,
пришедший на остановку автобус?
4. Какова вероятность опоздать на занятия студентки Нади Задержаловой, которая выходит на остановку на 20 минут позже Фёдора?
5. Постройте (дискретный) график зависимости вероятности P опоздания студента на занятия от запаса T имеющегося у него времени на ожидание автобуса, полагая T= 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 минут.
6. Какой запас времени надо иметь студенту Фёдору, чтобы вероятность его опоздания на занятия не превышала 2%?
Задача 1.1.2. В стол находок в среднем за 1 час обращается 12 человек. Время обеденного перерыва в столе находок составляет 15 минут. Поток обращений можно считать простейшим. Выполните следующие задания.
1. Определите вероятность P(0) того, что в стол находок никто не обратится в течение времени T = 2,5N минут, где N=1,2,...,10 .
2. Постройте график зависимости P(0) от T.
3. Предполагая, что каждый обратившийся за это время становится в очередь, определите вероятности
а) P(k)- того, что длина очереди равна k ,
б) F(k)- того, что длина очереди менее k ,
для k = 0,1,2,...,9.
4. Постройте графики зависимости P(k) и F(k) от k.
Задача 1.1.3. Статистические наблюдения показали, что вероятность того, что за 1 минуту в парикмахерской не появится ни одного посетителя, равна 0,6. Выполните следующие задания.
1. Найдите вероятность P(0,T) того, что в парикмахерской не появится ни одного посетителя за время T= 2,3,4, 5 мин..
2. Определите число посетителей, обслуживаемых парикмахерской в среднем за 1 час.
Задача 1.1.4. Вероятность того, что за 12 секунд в магазине не появится ни одного покупателя, равна 0,94. Выполните следующие задания.
1. Найдите вероятность того, что в магазине появится хотя бы один покупатель за время T= 1, 2, 3, ...,10.
2. Определите число покупателей, обслуживаемых магазином в среднем за 1 час .
3. Вычислите вероятность того, что в течение одной минуты в магазине появятся k покупателей (k= 1, 2, 3, 4.) .
Задача 1.1.5. В травмпункт обращается за помощью в среднем 3 человека в час. Выполните следующие задания.
1. Определите вероятность P(2)=P{X(T)>1} обращения за помощью двух и более человек за время T= 1, 2, ..., 10 мин..
2. Постройте график зависимости P(2) от времени Т.