Задание 1 Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Для тела (форма тела – шар), брошенного под углом к горизонту, определить: время полета, дальность полета, максимальную высоту полета, тип траектории, оптимальный угол наклона начальной скорости к горизонту, обеспечивающий максимальную дальность полета.

Состав исходных данных:

Начальные условия при t = 0:

X₀, Y₀ - начальные координаты тела [м];

Θ (tet) - угол наклона начальной скорости к горизонту (угол бросания) [град];

V₀ - начальная скорость [м/с].

Дополнительные условия:

m - масса тела [кг];

R (Rt) - радиус тела [м];

Cr - коэффициент сопротивления;

H_k – конечная высота [м];

Wx – скорость ветра [м].

Параметры, влияющие на точность расчетов:

h _инт (int) - шаг интегрирования [м];

εн_max (epsHmax) - точность выхода на максимальную высоту [м];

εн_k (epsH0)- точность выхода на высоту Н_k [м].

Принятые физические параметры (могут быть изменены):

g₀ = 9, 806 - ускорение свободного падения [м/сек²];

ρ₀ = 1,225 - плотность воздуха при Н = 0 [кг/м³].

Параметры печати:

h_рез (hpes) - шаг печати результатов расчета по времени.

При разработке математической модели рассматриваются следующие гипотезы.

1. Тело движется только под действием постоянной силы веса F_т = mg, направленной вертикально вниз.

Уравнения движения тела

m dv_x /dt = 0, v_x = dx/dt,

m dv_y /dt = - mg, v_y = dy/dt

Необходимо найти зависимости x(t), y(t), v_x(t), v_y(t) из решения полученной системы дифференциальных уравнений при начальных условиях:

x(0) = x₀, y (0) = y₀,

v_x (0) = v₀ cos Θ ₀, v_y (0) = v₀ sin Θ ₀.

С математической точки зрения задача свелась к задаче Коши.

Аналитическое решение.

Проинтегрировав полученные соотношения по времени, получим

x(t) = C₂ + C₁t, y(t) = C₄ + C₃t – gt²/2,

v_x (t) = C₁, v_y (t) = C₃ – gt.

Константы интегрирования находятся из начальных условий. Тогда решение задачи:

х (t) = x₀ + v₀ t cos Θ ₀, y (t) = y₀ + v₀ tsin Θ ₀ – gt²/2,

v_x (t) = v₀ cos Θ ₀, v_y (t) = v₀ sin Θ ₀ – gt.

Первые два уравнения решения задачи представляют собой уравнение траектории -параметрическое задание параболы, которая при x₀ = y₀ = 0 в декартовых координатах запишется в виде:

y = x tg Θ ₀ – gx²/2v₀²cos² Θ ₀.

Решение задачи при x₀ = y₀ = 0.

1. Время полета (найти t, при котором у равно нулю):

y₀ + t (v₀ sin Θ ₀ – gt/2) = 0, t = (2v₀ sin Θ ₀)/g,

2. Расстояние по горизонтали (определить х при найденном значении t):

,

Отсюда - расстояние будет наибольшим, когда 2 Θ ₀ = 90⁰, т.е. Θ ₀ = 45⁰.

3. Максимальная высота полета (приравняв производную dy/dt = 0):

dy/dt = - gt + v₀ sin Θ₀ = 0, t = (v₀ sin Θ₀)/g, подставляя t в полученное решение уравнение для y:

.

Задаваясь различными значениями начальных условий можно получить зависимости результатов решения задачи от начальных условий при принятых гипотезах и допущениях.

Для принятой гипотезы не учитываются следующие факторы:

- сопротивление воздуха;

- изменение с высотой величины ускорения силы тяжести Земли;

- изменение плотности атмосферы с высотой;

Это позволило решить задачу в аналитическом виде.

2. Оценка учета сопротивления воздуха.

Cила сопротивления воздуха R_c (полная аэродинамическая сила) направлена противоположно вектору скорости тела прямо пропорциональна величине скоростного потока q и характерной площади тела S:

R = - C_р qS, q = ρv²/2,

где C_р - коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды и тела, скорости потока;

ρ [кГсек²м^-4] – плотность воздуха.

Коэффициент сопротивления определяется опытным путем, и для приближенных расчетов для тела в форме шара может быть принят независимым от скорости потока и равным 0,25 (плюс – минус 0,05 – в зависимости от скорости).

Тогда система уравнений запишется в виде:

dv_x /dt = C_р qS cosα / m, v_x = dx/dt,

dv_y /dt = C_р qS sin α / m - g, v_y = dy/dt

ρ = ρ (y), α = arctg v_x / v_y, q = ρv²/2

при начальных условиях:

x (0) = x₀, y (0) = y₀,

v_x (0) = v₀ cos α₀, v_y (0) = v₀ sin α₀.

Зависимость ρ = ρ (y) может быть задана в табличном или в аналитическом виде.

Задача не имеет аналитического решения и решается численным интегрированием.

Подобным образом учитываются другие гипотезы, связанные с дополнительной силой -силой ветра (вдоль скорости - попутного или встречного), архимедовой – в уравнения движения добавляется постоянно действующая сила. Строятся зависимости результатов от величины силы. Определяется, для каких значений силы можно использовать гипотезу о ее пренебрежении.

С учетом полученных по упрощенной модели зависимостей результатов решения задачи (время, дальность, максимальная высота полета) от начальных параметров и исходных данных оценивается адекватность модели для каждого из заданных вариантов значений точности модели путем сравнения результатов расчетов по двум моделям – с учетом и без учета сопротивления воздуха. Если разность расчетов дальности превышает заданные значения точности – принимается концепция модели, учитывающей сопротивление воздуха.

Определить, для каких значений исходных данных необходимо использовать гипотезу об отсутствии сопротивления воздуха.