ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

по курсу «Моделирование сложных систем»

Тема: требования к математической модели

Цель работы. Освоение методологии построения адекватных математических моделей объекта и исследований с их помощью параметров его движения.

Общая схема построения уравнений движения

Законы Ньютона.

Рассматривается система, модель которой может быть представлена как материальная точка.

Материальная точка - тело, размеры и форма которого несущественны в рассматриваемой задаче. Движение материальной точки полностью задано, если указан однозначный закон изменения во времени ее пространственных координат. Траектория – линия, описываемая движущейся точкой в пространстве.

Система материальных точек (механическая система) совокупность материальных точек, которая в общем случае взаимодействует как друг с другом, так и с другими телами, не включенными в систему.

Инерционные свойства механической системы выражаются первым и вторым законами Ньютона.

Под действием внешней силы точка приобретает конечное по величине ускорение, в отсутствие внешних воздействий – сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Количество движения материальной точки – вектор К_i, равный произведению массы точки m_i на ее скорость v_i: К_i = m_i v_i:

1-ый закон - если на материальную точку не действуют другие тела, то она находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Этот закон называют законом инерции движения материальной точки, свободной от внешних воздействий – движением по инерции.

2-й закон - произведение массы тела на ускорение равно сумме всех действующих на тело сил ma =  F.

Закон устанавливает связь между действующей силой и вызванным ею изменением состояния (ускорением): ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе F ~ a.

Отношение силы к приобретенному ускорению постоянно для данного тела. Это отношение называется массой.

Масса = Сила / Ускорение

Здесь масса характеризует инерционные свойства материальной точки и называется инертной массой материальной точки.

Или: первая производная по времени от импульса (количества движения) материальной точки (системы точек) равна главному вектору F всех внешних сил, приложенных к точке (элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу действующей на нее силы):

= F_i или (m_iv_i) = F_{i ,} d (m_iv_i) = F_i dt

так как m_i = const, то а_i = dv_i / dt = F_i / m_i, или  ma =  F.

Итак, второй закон Ньютона для материальной частицы m¨x = F.

Здесь m – масса частицы, x(t) = (x₁(t), x₂(t), x₃(t)) – ее положение в момент времени t.

Частица движется в пространстве R³, x₁(t), x₂(t), x₃(t) – ее координаты, F - действующая на частицу сила, может задаваться как функция времени F = F (t). Обычно сила задается как вектор-функция аргументов x  R³, x˙  R³ и времени t. Тогда уравнение второго закона есть векторное дифференциальное уравнение второго порядка mx¨ = F(x, x˙, t).

Для того, чтобы описать движение материальной точки при помощи этого уравнения, недостаточно задать ее начальное положение, задание начальных условий должно включать и задание начальной скорости:

x(0) = x₀, x˙ (0) = v₀.

Здесь x₀ – начальное положение точки x₀(t) = (x₀₁, x₀₂, x₀₃)  R³, v₀(t) = (v₀₁, v₀₂, v₀₃)  R³ – ее начальная скорость.

Таким образом, фазовое пространство данной системы есть R³ х R³, а состояние системы – есть пара (x, v), где x - положение материальной точки, v - ее скорость.

Согласно первому и второму законам Ньютона все изменения состояния движения вызываются силами – силы являются причинами любого изменения.

Ускорение возникает в направлении действия силы. Силы инерции направлены в противоположную сторону. Возникают только в системе отсчета, движущейся с ускорением – это кажущиеся силы.

3-ий закон - две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

F_ij = - F_ji.

F_ij - сила, действующая на i–ю точку со стороны j–ой точки.

Тяготение между телами осуществляется через гравитационное поле (поле тяготения.

Здесь масса материальной точки характеризует гравитационные свойства этой точки и называется гравитационной массой (массой тяжести).

Векторная характеристика гравитационного поля – его напряженность g, которая равна отношению силы тяготения, действующей на материальную точку, к его массе: g = Р/m.

Для всех тел отношение их инертных и гравитационных масс постоянно. Инертные и гравитационные массы равны и связаны с силой тяжести тела соотношением P = mg.

Вес тела – сила, с которой тело вследствие тяготения к центру притяжения действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Невесомость – состояние системы, при котором на систему не действуют никакие внешние силы, кроме силы гравитационного поля. Свободным падением называется движение тела под действием единственной силы, равной его весу.

Вес тела Р равен векторной разности силы F тяготения тела к Земле и центростремительной силы F_ц, обуславливающей участие тела во вращении Земли:

Р = F - F_ц. Центростремительная сила F_ц зависит от массы тела m, угловой скорости суточного вращения Земли ω, радиуса Земли R, географической широты места наблюдения φ:F_ц = m ω2Rcos φ.

На географических полюсах (φ = 90⁰) F_ц = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что центростремительная сила зависит от широты, вес тела максимален на полюсах и минимален на экваторе, различие не превышает 0,55%.

Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и, также как и вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря.

Стандартное (нормальное) значение ускорения свободного падения на уровне моря составляет g₀ = 9,81 м.сек². Для определения ускорения при удалении от поверхности Земли на высоту h используется формула g = g₀[R₀/(R₀ + h)]², R₀ = 6370 км - радиус Земли.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения

,

где f - гравитационная постоянная (сила взаимного притяжения между двумя точками одинаковой массы на расстоянии единицы длины).

Закон Архимеда – на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом:

По закону Архимеда выталкивающая сила равна F = gVρ₀.

Сила приложена в центре тяжести объема погруженной части тела.

Уравнения движения

Согласно законам Ньютона все изменения состояния движения вызываются силами.

Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое 2-м законом Ньютона так, как если бы других сил не было, результирующее ускорение определяется действием результирующей силы.

Если какое либо предположение о движении не подчиняется этим законам, его следует из рассмотрения исключить.

Тело может находиться в равновесии, если сумма проекций приложенных к нему сил на любое направление равна нулю.

Пример проекции сил.

F 1x = x1 – x2, F2x = x2 – x3, F3х = x3 – x1. При равновесии сумма проекций сил равна нулю: F1x + F2x + F3х = 0.

Действие трех сил на тело. Действующие силы: тяжести P = Mg, натяжения нити Т = mg, реакции (ограничивают движение тела) R. P2 = Psinα = Mgsinα   Равновесие обеспечивается при Т = Р2, R  = Р1. Тогда условие равновесия: Mgsinα  = mg, Msinα = m.

Вращение тела вокруг жесткой оси.

Е сли сила F не проходит через ось вращения – на тело действует сила вращения. Сила F₁, которая проходит через ось вращения тела уравновешивается силой реакции R = F₂. Вращение – только под действием силы F₁, перпендикулярной линии, проходящей через точку А приложения силы и ось вращения О.

Для равновесия тела, закрепленного на оси, существенен не сам модуль силы, а произведение модуля на расстояние (плечо) – момент силы относительно оси: M = F₁r. Если момент равен нулю – сила не вызывает вращения.

Уравнение движения материальной точки (системы точек) определяет связь ускорения a_i и силы F_i и записывается в соответствии со вторым законом Ньютона:

m_i , i = 1,. . ., N,

где m_i - масса материальной точки, t > 0 – время, - ее радиус-вектор, _i - результирующая всех действующих на нее сил. Через обозначено множество координат всех точек системы.

Величины _i считаются заданными и могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат и скоростей всех рассматриваемых точек.

Силу, как и любой вектор, можно спроектировать на любую ось. Проекция вектора на ось равна разности координат начала и конца отрезка:

m , m , m .

Различают два вида движения: поступательное и вращательное.

Динамика поступательного движения.

При рассмотрении поступательного движения твердого тела его можно заменить материальной точкой, совпадающей с центром инерции тела, обладающей всей его массой и движущегося под действием главного вектора внешних сил, приложенных к телу..

Основной закон динамики поступательного движения: производная по времени от количества движения К материальной точки или системы точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе: dK/dt = F, или mа_с = F, где а_с – ускорение центра инерции системы, - m ее масса.

В прямоугольных декартовых координатах уравнение движения имеет вид:

dK_x/dt = F_х, dK_y/dt = F_y, dK_z/dt = F_z.

или m_i = F_iх, m_i = F_iу, m_i = F_iz.

Простейшие случаи поступательного движения твердого тела.

а ) Движение по инерции (F = 0) – равномерно поступательное движение (с постоянной скоростью):

mv = const, а = 0. v = const, S = vt.

б) Движение под действием постоянной силы – равномерно ускоренное движение (с постоянным ускорением):

(mv) = F = const, mv = F t + mv₀,

где mv₀ - количество движения тела в начальный момент времени t = 0.

Ускорение a = ∆v/∆t – отношение изменения скорости к потребовавшемуся для этого времени (время, за которое происходит изменение скорости).

Из состояния покоя изменение скорости к моменту t:

v = at. Тогда S = vt / 2 = at²/2, v = .

Свободное падение – частный случай равномерно ускоренного движения без начальной скорости. Ускорение этого движения равно ускорению свободного падения a = g. Приняв s = h, v = .

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀: h_max = v₀²/2g.

Работа = Сила х Перемещение.

П ри F = const (в случае постоянной силы в процессе перемещения) A = F s, в случае переменной силы – интеграл от силы по перемещению A = .

Если тело движется в направлении действия силы тяжести, то над телом совершается работа A = mg h.

Чтобы поднять тело (увеличить расстояние от центра Земли), над ним следует совершить работу. Работа, совершаемая силой F при движении против силы тяжести (подъеме тела) на высоту h не зависит от пути – зависит только от того, насколько тело может опуститься до заданного уровня. Эта работа запасается в виде потенциальной энергии тела (энергии положения) A =W_п = mgh, равной работе, затраченной на подъем тела.

Это не полная потенциальная энергия – только приращение энергии при подъеме тела на высоту (начало отсчета выбирается произвольно). С учетом изменения гравитационного поля по высоте W_п = m .

Потенциальной энергией называется энергия, зависящая только от взаимного расположения материальных точек (или тел).

Во всех физических явлениях важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Уровень отсчета изменений заранее оговаривается.

При подъеме на высоту накопилась потенциальная энергия W_п, при падении с этой высоты эта потенциальная энергия превратилась в кинетическую W_к. W_п = W_к = mgh = mv²/2.

Т ело брошено горизонтально с начальной скоростью v₀ – комбинация двух движений взаимно перпендикулярных друг другу: горизонтального (равномерного прямолинейного) и вертикального (свободного падения).

Координаты каждой точки траектории:

- перемещение тела в горизонтальном направлении x = v₀ t;

- перемещение тела в вертикальном направлении (равномерно ускоренное движение с ускорением g) y = gt²/2.

Из этих уравнений движения: t = x / v₀ , y = gx² / 2v₀ – парабола.

в) Неравномерно ускоренное движение

dS = Vdt. S = .

Математическая модель механического движения представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно координат и скоростей движущегося объекта.

Процесс составления дифференциального уравнения по условию задачи (физической, технической) состоит в выражении на математическом языке связи между переменными величинами и их бесконечно малыми приращениями. Модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых неизвестные функции зависят только от одной переменной - обыкновенные дифференциальные модели.

Ответы на вопросы, поставленные при построении дифференциальной модели, получают после интегрирования дифференциальных уравнений. С математической точки зрения задача свелась к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями. Задача Коши (задача с начальными условиями) – задача о нахождении частного решения, которое удовлетворяет n частным условиям y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y’₀,…, y^(n-1)(x₀) = y^(n-1) ₀. Существование и единственность задачи Коши, методы ее решения известны из теории дифференциальных уравнений.

Тело, брошенное под углом к горизонту движется, как и в случае горизонтально брошенного тела, в результате комбинации двух движений: равномерного прямолинейного движения под углом к горизонту и свободного падения в вертикальном направлении (под действием только силы тяжести – без реакции опоры).

В двумерной постановке тело, брошенное под углом к горизонту, рассматривается как материальная точка, движущаяся под действием лишь одной силы - постоянной силы его веса Р, направленной вертикально вниз. Начало координат – в точке приложения силы, обеспечившей начальную скорость полета.

Тело массы m, брошенное под углом к горизонту, движется под действием постоянной силы веса Р = F_т, направленной вертикально вниз Р = mg.

Уравнения движения можно представить как в векторной, так и в координатной форме.

Для произвольной точки М (х,у) траектории тела:

mv = Р t + mv₀, или v = gt + v₀.

Проецируя векторные соотношения на оси координат, получим уравнения движения в координатной форме.

m dv_x /dt = 0, v_x = dx/dt,

m dv_y /dt = - mg, v_y = dy/dt

Необходимо найти зависимости x(t), y(t), v_x(t), v_y(t) из решения полученной системы дифференциальных уравнений при начальных условиях:

x(0) = x₀, y (0) = y₀, v_x (0) = v₀ cos Θ ₀, v_y (0) = v₀ sin Θ ₀.

Сопротивление воздуха

Cила сопротивления воздуха F_а/д (полная аэродинамическая сила) направлена противоположно вектору скорости тела прямо пропорциональна величине скоростного потока q и характерной площади тела S:

F_а/д = - CrqS, q = ρv²/2,

где Cr - коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды и тела, скорости потока, ρ [кг/м³] – плотность воздуха, зависит от высоты.

Коэффициент сопротивления определяется опытным путем, и для приближенных расчетов для тела в форме шара может быть принят независимым от скорости потока и равным 0,25 (плюс – минус 0,05 – в зависимости от скорости).

Тогда система уравнений запишется в виде:

dv_x /dt = Cr qS cos Θ / m, v_x = dx/dt,

dv_y /dt = Cr qS sin Θ / m - g, v_y = dy/dt

ρ = ρ (y), α = arctg v_x / v_y, q = ρv²/2

при начальных условиях:

x (0) = x₀, y (0) = y₀,

v_x (0) = v₀ cos Θ ₀, v_y (0) = v₀ sin Θ ₀.

Зависимость ρ = ρ (y) может быть задана в табличном или в аналитическом виде.

Задача не имеет аналитического решения и решается численным интегрированием. Определяется влияние шага интегрирования на точность решения задачи.

Изменение с высотой величины ускорения силы тяжести Земли

Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и, также как и вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря.

Стандартное (нормальное) значение ускорения свободного падения на уровне моря составляет g₀ = 9,81 м/сек². Для определения ускорения при удалении от поверхности Земли на высоту h используется формула g = g₀[R₀/(R₀ + h)]², R₀ = 6370 км - радиус Земли. На географических полюсах (φ = 90⁰) F_ц = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что центростремительная сила зависит от широты, вес тела максимален на полюсах и минимален на экваторе, различие не превышает 0,55%.

Величина выталкивающей силы (закон Архимеда)

На тело действует выталкивающая сила воды в соответствии с законом Архимеда.

По закону Архимеда выталкивающая сила равна F_арх = g(y)Vρ₀(y). Здесь Vρ₀(y) – масса вытесненного воздуха, V – объем тела.

Величины присоединенной массы

Присоединенная масса может быть определена по формуле: m = 0,5 Vρ₀.

Изменения плотности атмосферы с высотой

Гипотеза о постоянстве плотности атмосферы (ρ₀ = 1,225 кг/м³) с высотой полета изменяется ρ = ρ (h), где h – высота над уровнем моря [м]: ρ = ρ₀^{- 0, 00014h}.

Кривизны Земли

Для учета кривизны Земли необходимо строить новую математическую модель - начало системы координат помещается в центр Земли. В этом случае сила притяжения направлена в начало координат (а не перпендикулярно оси координат), и тип кривой полета становится другим (эллипс, а не парабола).