Содержание дисциплины

(извлечение из рабочей программы дисциплины)

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗ

Тема 1.1. Элементы линейной алгебры

Векторы и действия с ними. Линейное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства Об­ратная матрицы, способы ее вычисления. Ранг матрицы. Системы линейных алгебраиче­ских уравнений и методы их решения. Теорема Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса-Жордана. Приложения линейной алгебры в экономике.

Тема 1.2. Элементы аналитической геометрии

Прямоугольная система координат в пространстве. Прямая на плоскости и ее уравнения. Взаимное расположение прямых. Задача о делении отрезка в заданном отношении. Плоскость и ее уравнения. Взаимное расположение плоскостей. Полуплоскость. Приложения аналитической геометрии в экономике.

Тема 1.3. Введение в анализ функций одной переменной

Множества и операции над ними. Последовательности. Предел последовательности и его вычисление. Функции и их классификация. Предел функции и его вычисление. Теоремы о пределе функции. Теоремы о непрерывных функциях. Примеры использования последовательностей и функций в экономико-математических моделях.

Тема 1.4. Дифференциальное исчисление функции одной

переменной.

Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Табличное дифференцирование. Основные теоремы дифференциального исчисления. Вычисление пределов по правилу Лопиталя. Монотонность функции, ее дифференциальный признак. Точки экстремума, необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость функции, ее дифференциальный признак. Точки перегиба, необходимые и достаточные условия перегиба. Экономическая интерпретация монотонности и выпуклости. Асимптоты функции и правила их нахождения. График функции. Полная схема исследования функции. Построение графика. Пример применения исследования экономических функций и интерпретация полученных результатов. Эластичность функции и ее свойства.

Тема 1.5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных, Предел функции нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент. Производная по направлению. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Экономические примеры функций нескольких переменных.

РАЗДЕЛ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Тема 2.1. Неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопре­деленного интеграла и методы его вычисления. Формула интегрирования по частям.

Тема 2.2. Определенный интеграл

Интегральные суммы Римана. Понятие определенного интеграла. Достаточное условие интегрируемости. Свойства определенного интеграла. Теорема и формула Ньютона - Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Пример применения определенного интеграла в финансовой математике.

РАЗДЕЛ 3. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ.

Тема 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).

ОДУ, общие понятия и определения. ОДУ первого порядка. Теорема Коши. Общее и частное решения ОДУ. ОДУ с разделяющимися переменными. Линейные ОДУ пер­вого порядка. ОДУ высших порядков. Теорема Коши. ОДУ второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные ОДУ второго порядка. Теорема о структуре решения. Оп­ределитель Вронского. Линейные неоднородные ОДУ второго порядка. Теорема о структуре общего решения. Линейные однородные ОДУ второго по­рядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. Метод не­определенных коэффициентов. Численные методы решения ОДУ.

Тема 3.2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Общие понятия и определения. Метод исключения и метод интегрируемых комбинаций. Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Тема 3.3. Числовые ряды.

Понятие числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Необходимое и достаточное ус­ловие сходимости. Признак сравнения. Признак Даламбера. Инте­гральный признак. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Тема 3.4. Функциональные ряды.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степен­ного ряда. Свойства степенных рядов. Разложение функций в сте­пенные ряды. Теорема о единственности разложения. Необходимое и достаточное условие сходимости. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Некоторые приложения степенных рядов.

РАЗДЕЛ 4 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 4.1. Случайные события и вероятность

Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Событие и операции над ними. Поле событий. Вероятность над полем событий. Вероятностное пространство и его основные виды. Классическая вероятность. Условная вероятность. Вероятностная схема Бернулли.

Тема 4.2 . Случайные величины

Случайная величина и ее функция распределения. Свойство функции распределения. Дискретная случайная величина, ее ряд распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Примеры различных видов распределений дискретных случайных величин. Непрерывная случайная величина, плотность ее распределения.

Тема 4.3. Многомерные случайные величины (системы случайных величин)

Системы случайных величин, их совместное распределение. Зависимость и независимость случайных величин. Числовые характеристики меры связи случайных величин. Примеры исследования систем случайных величин в теории ценных бумаг.

РАЗДЕЛ 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ (ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ)

Тема 5.1. Постановка оптимизационных задач

Понятие математической модели. Примеры математических моделей экономических систем. Целевая функция и множество ограничений. Задача оптимизации.

Тема 5.2. Линейное программирование

Постановка задачи линейного программирования, различные формы ее записи. Двойственная задача. Основные теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных переменных. Графический способ решения задачи линейного программирования с двумя переменными. Симплексный метод решения канонической задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в общем виде, М-задача.