2.5 Аппроксимация моделью первого порядка
Исходные данные об объекте задаются в виде графика его переходной функции. Предполагается, что у переходной функции отсутствуют колебания, т.е. она имеет качественный вид, показанный на рисунке 2.5.1.
Выбираются следующие два условия приближения переходной функции модели к переходной функции объекта:
- в точке перегиба переходной функции объекта, значения переходных функций должны совпадать;
- в точке перегиба переходной функции объекта, скорость изменения переходной функции объекта должна совпадать со скоростью изменения переходной функции модели.
Эти два условия удовлетворяют следующим образом. Находится точка перегиба переходной функции. Для этого от начала переходного процесса до его завершения разбивается на двадцать-тридцать равных частей, и находятся приращения переходной функции на каждом временном интервале Δt. На отрезке времени, где приращение переходной функции максимально и лежит абсцисса точки перегиба. Выбирается точка в середине найденного интервала и принимается за точку перегиба.
Координаты точки перегиба: tпер = 45 c, hпер = 2;
Рассчитываем Тм, с:
Тм = Тоб (1-в) (2.5.2)
в
=
,
(2.5.3)
в
=
=
0,22;
Тм = 82·(1-0,22) = 63,77778;
Тм = 63,77778 с
Вычисляем τм , с:
τм = tпер + Тм·ln(1-b), (2.5.4)
τм =45+63,7·ln(1-0,22) = 28,97172424;
τм = 28,97172424с.
Формулы (2.5.2) и (2.5.4) позволяют получить параметры математической модели. Далее по формуле (2.5.5) можно построить переходную функцию модели(рисунок 2.5.1) и сравнить ее с переходной функцией объекта. При этом этой формулой можно пользоваться, начиная с t= τм , а до этого момента принимать hm (t)=0.
Hm (t) = kоб(1- е (–t- τм)/ Тм) (2.5.5)
Ряд 1-переходная характеристика объекта;
Ряд 2-аппроксимация переходной характеристики
Рисунок 2.5.1 - Аппроксимация переходной характеристики реального объекта моделью первого порядка
Таблица 2.5.6 - Исходные данные для аппроксимации моделью первого порядка
τ, с |
hм(t) |
0 |
0 |
10 |
0 |
Продолжение таблицы 2.5.6 |
|
20 |
0 |
30 |
0,143942 |
40 |
1,429135 |
50 |
2,52782 |
60 |
3,467064 |
70 |
4,270005 |
80 |
4,956423 |
90 |
5,543228 |
100 |
6,044875 |
110 |
6,473724 |
120 |
6,840337 |
130 |
7,153748 |
140 |
7,421677 |
150 |
7,650723 |
160 |
7,846531 |
170 |
8,013922 |
180 |
8,157022 |
190 |
8,279355 |