2. Потенциал. Связь напряжённости электрического поля с потенциалом Основные формулы

Потенциал электростатического поля

,

где W_n – потенциальная энергия точечного положительного заряда Q₀, помещённого в данную точку поля.

Разность потенциалов в двух точках поля

,

где А – работа по перемещению заряда Q из точки с потенциалом в точку с потенциалом .

Работа А

.

Потенциал поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда

,

где м/Ф; ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Принцип суперпозиции для потенциалов электростатических полей

,

где – расстояние от заряда Q_i до точки, в которой вычисляется потенциал .

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов Q₁ и Q₂

.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов Q₁, Q₂, …, Q_n

,

где – потенциал поля, создаваемого всеми n-1 зарядами (за исключением i-го) в точке, в которой расположен заряд Q_i.

Связь потенциала φ с напряжённостью электростатического поля

,

где grad – операция «градиент», действие которой на функцию φ(x,y,z) в декартовых координатах задаётся уравнением

,

где , , – орты координатных осей x, y, z.

В случае центрально симметричного электрического поля, а также поля цилиндрической симметрии

,

где r – расстояние от центра симметрии, или соответственно от оси цилиндрической симметрии до точки наблюдения.

В случае однородного поля

,

где d – проекция отрезка, соединяющего точки с потенциалами и , на направление силовой линии поля.

Примеры решения задач

Пример 1

Три точечных заряда Q₁ = 1 мкКл, Q₂ = -2 мкКл, Q₃ = 4 мкКл находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Найти: а) работу, которую нужно совершить, чтобы расположить заряды в вершинах правильного треугольника со стороной а = 0,1 м; б) потенциальную энергию заряда Q₁ после перемешения зарядов.

Дано:

а) А -? б) Wn1 -?

Решение

После перемещения зарядов:

а) Работа А равна изменению потенциальной энергии: А = |W_nкон - W_nнач|.

W_nнач = 0; W_nкон = W₁₂ + W₂₃ + W_13;

.

Дж.

б) Дж.

Ответ: а) А = 0,54 Дж; б) W_n1 =0,45 Дж.

Пример 2

Бесконечная тонкая равномерно заряженная нить имеет линейную плотность заряда Кл/м. Какую скорость приобретет электрон, переместившись из точки на расстоянии r₁ = 0,1 м в точку на расстоянии r₂ = 0,2 м от нити? Отношение модуля заряда электрона к его массе Кл/кг. Начальная скорость электрона равна нулю.

Дано: Кл/м r1 = 0,1 м r2 = 0,2 м Кл/кг υ0 = 0

υ = ?

Решение

По теореме о кинетической энергии работа , т.к. .

С другой стороны, работа А

тогда .

Из уравнения, связываюшего потенциал и напряженность электрического поля в случае цилиндрической симметрии , следует: .

Напряженность Е поля нити . Тогда скорость .

м/с.

Ответ: м/с.

Пример 3

Диэлектрический шар радиусом 0,2 м с равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда мкКл/м³. Найти разность потенциалов между точками, расположенными на расстояниях r₁ = 0,1 м и r₂ = 0,4 м от центра шара.

Дано: R = 0,2 м мкКл/м3 r1 = 0,1 м r2 = 0,4 м

Решение

Связь Е и для центрально симметричного поля

.

Напряженность электрического поля шара в зависимости от расстояния r до центра шара

– электрический заряд шара.

В.

Ответ: В.

Пример 4

Две тонкие концентрические металлические сферы радиусами R₁ = 0,2 м и R₂ = 0,4 м имеют заряды Q₁ = 200 нКл и Q₂ = -160 нКл. Найти потенциалы электрического поля в точках А, В и С, расположенных на расстояниях r_A = 0,1 м; r_B = 0,3 м; и r_C = 0,5 м от общего центра сфер.

Дано: R1 = 0,2 м R2 = 0,4 м Q1 = Кл Q2 = Кл rA = 0,1 м rB = 0,3 м rC = 0,5 м

- ?

Решение

Потенциал внутри первой сферы одинаков во всех точках внутри этой сферы и по принципу суперпозиции для потенциалов

Потенциал ,

где совпадает с потенциалом поля точечного заряда, равного Q₁ и расположенного в т. О; – потенциал поля, создаваемого сферой «2» во всех точках между сферами.

В.

Потенциал в точке вне обеих сфер совпадает с потенциалом поля точечных зарядов, равных Q₁ и Q₂ , помещенных в т. O: , где , .

Тогда

В.

Ответ: В, В, В.

Пример 5

Тонкое кольцо радиуса R = 0,3 м равномерно заряжено с линейной плотностью заряда мкКл/м. Найти работу по перемещению точечного заряда Q = 20 нКл из центра кольца вдоль оси кольца на расстояние h = 0,4 м плоскости кольца.

Дано: R = 0,3 м Кл/м Q = h = 0,4 м

A - ?

Решение

Выберем ось координат, совпадающую с осью кольца с началом в центре кольца. Определим зависимость потенциала кольца от расстояния «Y» до его центра. По принципу суперпозиции для потенциалов

,

где ; м/Ф; .

Для всех зарядов dQ кольца расстояние r до точки А, в которой вычисляем потенциал, есть величина постоянная, следовательно,

, ,

Работа А по перемещению заряда Q из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии h от его плоскости,

Дж.

Ответ: Дж.

Пример 6

Два электрона, находясь первоначально на бесконечном расстоянии друг от друга, движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по величине 10 м/с. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны?

Дано: υ0 = 10 Мм/с = 107 м/с

rm - ?

Решение

По закону сохранения энергии

W₁ = W₂ , или ,

где кг, Кл – масса и заряд электрона.

Отсюда м.

Ответ: r_m = м.

Пример 7

В условиях предыдущей задачи один из электронов первоначально покоился. Найти минимальное расстояние между электронами.

Дано: м/с

rm -?

Решение

а) По закону сохранения импульса или , где скорость каждого электрона в момент наибольшего сближения. Имеем .

б) По закону сохранения энергии W₁ = W₂ , или , или .

Отсюда м.

Ответ: м.

Замечание: равенство скоростей электронов в момент их наибольшего сближения, когда потенциальная энергия их взаимодействия максимальна, означает, что их кинетическая энергия минимальна, что достигается тогда, когда скорость относительного движения минимальна, т.е. равна нулю.