1.3. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица – это компромиссный способ принятия решений. Составляется таблица возможных доходов. Задаются весовые коэффициенты a и b, причем a ≥ 0, b ≥ 0, a+ b =1. Для каждого возможного решения определяется наименьший и наибольший возможные доходы и вычисляется целевая функция по правилу:

a*(наименьший доход) + b*(наибольший доход).

Выбирается решение, при котором целевая функция принимает наибольшее значение. Веса a и b выбираются самим исследователем. При a=0, b=1 получаем правило максимакса (прогноз будет оптимистическим, решение благоприятным). Если a=1, b=0 получаем правило максимина (прогноз пессимистический, вариант решения будет самым неблагоприятным).

Вернемся к примеру 1. Зададим a=0,4 и b=0,6. Из табл. 1 находим наименьший и наибольший возможные доходы для каждого решения (числа в строках «макимакс» и «максимин»). Заполним табл. 3.

Таблица 3

Возможные решения	Наибольший доход	Наименьший доход	а*(наимень-ший доход)	b *(наиболь-ший доход)	Сумма
1	10	10	4	6	10
2	20	-10	-4	12	8
3	30	-30	-12	18	6
4	40	-50	-20	24	4

Максимальная сумма равна 10. Это соответствует возможному решению о закупке для реализации одной единица продукта. Очевидно, что результат будет зависеть от весовых коэффициентов.

В методе Гурвица вместо таблицы возможных доходов можно воспользоваться таблицей возможных потерь (табл.2). В этом случае ищется минимум целевой функции

a*(наименьшие потери) + b*(наибольшие потери)

по всем возможным решениям.

1.4. Правило максимальной вероятности

Модифицируем пример 1. Пусть из наблюдений известно, что спрос на 1 единицу продукта составил 15 раз, спрос на 2 единицы – 30 раз, на 3 единицы – 30 раз и на 4 единицы – 25 раз. Фактически, нам известна частота каждого возможного варианта. Всего наблюдений было 15+30+30+25 = 100. Определяем вероятность каждого варианта по формуле:

частота варианта/ сумму частот всех вариантов.

Данные заносим в табл. 4.

Таблица 4

Возможные варианты	1	2	3	4	Сумма
Частота	15	30	30	25	100
Вероятность, р	0,15	0,30	0,30	0,25	1

Максимальную вероятность имеют варианты 2 и 3. Из таблицы 1 (строка «максимакс») находим, что наибольший возможный доход из этих двух решений у решения «закупать 3 единицы продукта» (30 против 20). Поэтому, руководствуясь правилом максимальной вероятности, следует закупать 3 единицы продукта ежедневно.

1.5. Максимизация ожидаемого дохода

Зная вероятность каждого варианта (табл. 4) и возможные доходы (табл.1) можно определить средний ожидаемый доход (математическое ожидание дохода) по каждому варианту по формуле:

Σ_i (доход при i-том варианте)*(вероятность i-го варианта).

Далее определяется, для какого решения средний ожидаемый доход будет максимальным (табл.5).

Таблица 5

	Возможный доход, х	Вероятность, р	х*р	Сумма
Возможное решение 1	10	0,15	10*0,15 = 1,5	1,5+3++3+2,5=10
	10	0,30	10*0,30=3
	10	0,30	10*0,30=3
	10	0,25	10*0,25=2,5
Возможное решение 2	-10	0,15	-1,5	15,5
	20	0,30	6
	20	0,30	6
	20	0,25	5
Возможное решение 3	-30	0,15	-4,5	12
	0	0,30	0
	30	0,30	9
	30	0,25	7,5
Возможное решение 4	-50	0,15	-7,5	-0,5
	-20	0,30	-6
	10	0,30	3
	40	0,25	10

Максимум среди итоговых чисел равен 15,5. Следовательно, для реализации необходимо закупать 2 единицы продукта.

По аналогии можно минимизировать ожидаемые потери. Для этого средние ожидаемые потери вычисляются по формуле:

Σ_i (потери при i-том варианте)*(вероятность i-го варианта).

Контрольные вопросы

1. Какие методологические приемы используются для разработки решений в условиях неопределенности и риска?

2. В чем заключается суть теории максимакса и максимина?

3. В чем заключается суть теории минимакса?

4. В чем заключается метод принятия решения на основе критерия Гурвица?

5. Поясните, как используется правило максимальной вероятности при принятии решения.

Литература

1. Лапыгин Ю.Н. Управленческие решения [Текст]/ Ю.Н. Лапыгин, Д.Ю. Лапыгин – М.: Эксмо, 2009.

2. Просветов Г.И. Менеджмент: задачи и решения [Текст] / Г.И. Просветов - М.: Альфа-Пресс, 2009

3. Юскаева В.С. Принятие управленческих решений [Текст]/ В.С. Юскаева, Е.В. Зубарева, В.В. Чувикова - М.: Дашков и К^о, 2011.

Задания для самостоятельной работы

1. Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 30 руб. за единицу. Цена реализации этого продукта – 50 руб. за единицу. Из наблюдений видно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 20 руб. за единицу.

Возможные варианты	1	2	3	4
Частота	5	40	40	15

Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимакса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день.

2. Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 50 руб. за единицу. Цена реализации этого продукта – 80 руб. за единицу. Из наблюдений видно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 30 руб. за единицу.

Возможные варианты	1	2	3	4
Частота	10	20	30	40

Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимакса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день.

3. Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 40 руб. за единицу. Цена реализации этого продукта – 60 руб. за единицу. Из наблюдений видно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 20 руб. за единицу.

Возможные варианты	1	2	3	4
Частота	15	50	20	15

Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимакса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день.

4. Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 70 руб. за единицу. Цена реализации этого продукта – 90 руб. за единицу. Из наблюдений видно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 60 руб. за единицу.

Возможные варианты	1	2	3	4
Частота	20	20	30	30

Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимакса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день.

5. Швейная фабрика должна освоить выпуск одного из трех видов продукции. Результаты решения, какую продукцию выпускать, зависят от ряда обстоятельств (оборудование, фурнитура, красители, сырье и пр.). В таблице представлена величина дохода от реализации каждого варианта решения.

Возможные варианты: обстоятельства	Возможные решения: виды продукции
	1	2	3
1	30	45	65
2	20	25	30
3	20	10	8
4	15	25	10

Возможные варианты	1	2	3	4
Частота	50	30	20	10

Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимакса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и максимизируя ожидаемый доход, определить, какую продукцию необходимо выпускать швейной фабрике.