1.4.2. Квадратная регрессия (параболическая функция).

В этом случае приближенная функция имеет вид:

.

Частная производная .

Составим систему вида: .

Приведем подобные слагаемые аналогично методу получения методу линии регрессии и обозначим

тогда система примет вид:

Решение последней системы дает значения параметров a, b, c для приближенной функции в виде параболы.

1.4.3. Степенная функция (геометрическая регрессия).

Уравнение линии степенной функции иногда еще называют геометрической регрессией. Покажем, что нахождение приближенных функций с двумя параметрами F(x, a, b) в виде элементарных функций может быть сведено к нахождению параметров линейной функции.

Будем искать функцию в виде: (1)

Предположим, что любые > 0 и > 0.

Прологарифмируем (1):

(2).

Т. к. – приближающая функция для f, то – приближающая для

Введем новую переменную и обозначим (*)

Тогда - функция от

Тогда (2) примет вид: (3),

т. е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.

Практически при нахождении приближающей степенной функции необходимо выполнить следующие действия:

• По исходной таблице составить новую, прологарифмировав значения х и у.

• По новой таблице найти параметры А и В для линейной функции вида (3).

• Используя введенные обозначения (*), найти а и m и подставить в выражение (1).

1.4.4. Показательная функция.

Пусть приближающая функция имеет вид: .

Прологарифмируем это равенство:

.

Обозначения те же: .

Т. о. алгоритм построения приближающей функции следующий:

• Прологарифмировать значения функции у в исходной таблице.

• Для новой таблицы с исходными значениями и новыми найти параметры А и В.

• Используя введенное обозначение найти а и m, подставить их в формулу показательной функции.

1.4.5. Дробно – линейная функция.

Пусть приближающая функция имеет вид: .

Перепишем равенство следующим образом: . Отсюда следует, что для нахождения параметров а и b необходимо в исходной таблице значения оставить прежние, а значения заменить обратными числами, после чего по полученной таблице найти приближенную функцию ax+b.

1.4.6. Логарифмическая функция.

Пусть приближающая функция имеет вид: .

Для перехода к линейной функции достаточно сделать подстановку: .

Практически:

• в исходной таблице логарифмируем значения ;

• по новым значениям аргумента и исходным значениям находятся параметры а и b, которые подставляют в новое равенство.

1.4.7. Гипербола.

Если точечный график, построенный по исходной таблице, дает ветвь гиперболы, то приближающую функцию можно искать в виде: .

Выполнив подстановку , получим: .

Практический алгоритм:

• в исходной таблице значения аргумента следует заменить обратными числами и найти для новой таблицы приближающую функцию в виде линейной;

• полученные параметры а и b подставить в исходную формулу.

1.4.8. Дробно-рациональная функция.

Пусть приближающая функция будет иметь вид: .

Имеем: .

Алгоритм вычисления:

• в исходной таблице значения х и у заменяем обратными величинами: и ;

• по новой таблице строим функцию вида

• найденные значения а и b будут искомыми.