1.2. Открытая транспортная задача

Пример 2. В открытой транспортной задаче запасы поставщиков не равны потребностям потребителей (таблица 13).

Таблица 13

Поставщики	Потребители			Запасы
	В1	В2	В3
А1	9 х11	5 х12	4 х13	25
А2	7 х21	8 х22	5 х23	50
А3	3 х31	4 х32	6 х33	50
Спрос	25	70	40

Построим математическую модель задачи:

,

,

.

Вводим фиктивного поставщика с запасом 10 и нулевыми затратами на перевоз. Опорный план можно составить методом северо-западного угла или методом минимальной стоимости (таблица 14). Заполнение таблицы начинается с ячеек с наименьшей стоимостью перевозки.

Функция стоимости перевозок:

F₁ = 4*25+ 8*35+ 5*15+ 3*15+ 4*35 = 640.

Таблица 14

		Потребители			Запасы
		В1	В2	В3
Поставщики	А1	9	5 +	4 - 25	25	u1=0
	А2	7	8 - 35	+ 5 15	50	u2=1
	А3	3 15	4 35	6	50	u3=-3
	A4	0 10	0	0	10	u4=-6
Спрос		25	70	40	135
		v1=6	v2=7	v3=4

Для оптимизации плана используем метод потенциалов. Составляем уравнение потенциалов для занятых ячеек

u1 +v3 =4; u2 +v2 =8; u2 +v3 =5; u3 +v1 =3; u3 +v2 =4; u4 +v1 =0;

u 1 =0; u2 =1; u3 =-3; u4 =-6;

v1 =6; v2 =7; v3 =4.

Проверяем условие оптимальности для свободных ячеек:

u₁ +v₁ =6  9;

u₁ +v₂ =7 5;

u₂ +v₁ =7 = 7;

u₃ +v₃ =1  6;

u₄ +v₂ =1 0;

u₄ +v₃ =-2  0.

Для ячеек x₁₂ и x₄₂ условие оптимальности не выполняется. Для ячейки x₁₂,строим цикл [х₁₂, х₁₃, х₂₃, х₂₂]. Находим значения потенциалов.

u1 +v2 =5; u2 +v2 =8; u2 +v3 =5; u3 +v1 =3; u3 +v2 =4; u4 +v1 =0;

u 1 =0; u2 =3; u3 =-1; u4 =-4;

v1 =4; v2 =5; v3 =2.

Получаем новый план:

Таблица 15

9	5 25	4	u1=0
7	8 10	5 40	u2=3
3 15 +	4 - 35	6	u3=-1
0- 10	+ 0	0	u4=-4
v1=4	v2=5	v3=2

Проверяем условие оптимальности для свободных ячеек:

u₁ +v₁ =4  9;

u₁ +v₃ =2  4;

u₂ +v₁ =7 = 7;

u₃ +v₃ =1  6;

u₄ +v₂ =1 0;

u₄ +v₃ =-2  0.

Для ячейки u₄,v₂ условие оптимальности не выполняется. Для ячейки x₄₂,строим цикл [х₃₁, х₃₂, х₄₂, х₄₁]. Находим значения потенциалов.

u1 +v2 =5; u2 +v2 =8; u2 +v3 =5; u3 +v1 =3; u3 +v2 =4; u4 +v2 =0;

u 1 =0; u2 =3; u3 =-1; u4 =-5;

v1 =4; v2 =5; v3 =2.

Получаем новый план:

Таблица 16

9	5 25	4	u1=0
7	8 10	5 40	u2=3
3 25	4 35	6	u3=-1
0	0 10	0	u4=-5
v1=4	v2=5	v3=2

Проверяем условие оптимальности для свободных ячеек:

u₁ +v₁ =4  9;

u₁ +v₃ =2  4;

u₂ +v₁ =7 = 7;

u₃ +v₃ =1  6;

u₄ +v₁ =-1 0;

u₄ +v₃ =-3  0.

Для всех клеток условие оптимальности выполняется, следовательно, полученный план является оптимальным.

F = 5*25 +8*10 +5*40 +3*25 +4*35 +0*10 = 620.

При реализации оптимального плана потребитель В₂ останется недозагруженным на 10 единиц.