3. Обработка результатов прямых измерений
Допустим, что в результате n измерений некоторой физической величины x получен ряд значений x1, x2, ..., .xn. В этой совокупности результатов измерений возможны одинаковые значения.
В качестве значения, наиболее близкого к истинному, принимается среднее арифметическое
. (1)
Существует два способа обработки результатов измерений. В упрощенном варианте находят отклонения каждого отдельного измерения от среднего, т.е. величины
,
,
…,
,
которые называются абсолютными погрешностями измерений. Их среднее арифметическое
(2)
называется средней абсолютной погрешностью.
Окончательно результат записывается в виде:
(3)
В более корректном варианте случайную погрешность принято оценивать по среднеквадратичному отклонению от среднего значения измеряемой величины:
, (4)
где n – число измерений.
Истинное
значение измеренной величины x
лежит в интервале от
до
,
где
называется доверительным интервалом.
Вероятность этого события P
называется доверительной вероятностью.
Доверительный интервал рассчитывается
по формуле
, (5)
где tp,n – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности P и числа измерений n. При обработке результатов измерений в лабораториях кафедры физики СГАСУ используется таблица коэффициентов Стьюдента в зависимости от числа измерений n для доверительной вероятности P=0.9 (таблица 1).
Окончательная форма записи результата имеет вид:
. (5)
Таблица 1
Число проведенных измерений |
Доверительная вероятность |
|||||
n |
0,5 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
2 |
1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
3 |
0,82 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
31,6 |
4 |
0,77 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
12,9 |
5 |
0,74 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
8,6 |
6 |
0,73 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
6,9 |
7 |
0,72 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
6,0 |
8 |
0,71 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
5,4 |
9 |
0,71 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
5,0 |
10 |
0,70 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
3,2 |
4,8 |
20 |
0,69 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
20 |
0,67 |
1,6 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,3 |
4. Обработка результатов косвенных измерений
Пусть некоторая физическая величина f связана функциональной зависимостью с прямо измеряемыми величинами a, b и c:
.
Первоначально
для измеренных прямыми методами величин
находят средние значения
и
доверительные интервалы
по
формулам (1) и (4) соответственно.
Тогда, истинное значение физической величины f оценивается по формуле
(6)
а доверительный интервал этой величины в предположении независимости величин a, b, c определяется по формуле
.
(7)
Окончательно результат записывается в виде:
(8)