4.1. Масса и центр масс механической системы
Механической системой называют любую совокупность материальных точек. В частности, любое твердое тело, которое можно представить как совокупность его частиц, образует механическую систему. Масса механической системы равна сумме масс материальных точек, образующих эту систему:
,
(4.1)
где N – число всех точек системы.
Центром
масс механической
системы называют геометрическую точку,
радиус-вектор которой 
и
декартовы координаты 
:
;
(4.2)
,
(4.3)
где 
–
радиус-вектор и координаты j-й
точки системы.
Внутренними называют
силы взаимодействия между материальными
точками рассматриваемой системы. Введем
обозначения: внешние силы – 
,
внутренние – 
,
где индексы e, i –
первые буквы французских слов «exterieur»
(внешний) и «interieur»
(внутренний).
Из 3-го закона динамики следует, что для каждой внутренней силы существует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и направленная вдоль той же прямой в противоположную сторону. Таким образом, геометрическая сумма этих сил, а также сумма их моментов относительно произвольной точки равны нулю, что позволяет сформулировать следующие свойства внутренних сил:
1) геометрическая сумма всех внутренних сил (главный вектор) системы равна нулю:
;
(4.4)
2) геометрическая сумма моментов всех внутренних сил (главный момент) системы относительно произвольной точки О равна нулю:
,
(4.5)
где 
–
равнодействующая внутренних сил,
действующих на j-ю
точку.
Внешними силами механической системы называются силы, с которыми на точки и тела механической системы действуют точки и тела не входящие в рассматриваемую систему.
Равнодействующая всех внешних сил приложенных к точке обозначается (от латинского exterior - внешний).
Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.
Равнодействующая всех внутренних сил приложенных к точке обозначается (от латинского interior - внутренний).
Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается.
Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:
Теорема. Главный вектор всех внутренних сил системы (векторная сумма) равен нулю при любом состоянии системы. .
Доказательство: Согласно одной из аксиом динамики, любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Векторная сумма этих сил равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю.
Теорема. Главный момент всех внутренних сил системы (векторная сумма) относительно любой точки или оси равен нулю при любом состоянии системы. или .
Доказательство: Любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Сумма моментов этих сил относительно любой точки или оси равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки или оси равна нулю.
Дифференциальные уравнения системы в векторной форме:
,