2.2. Типы математических моделей и выбор подходящей для конкретного случая

При объяснении фактического материала и обобщении его в виде мате-матических моделей предпочтение следует отдавать моделям, которые строятся на объяснениях, образующих формально-логическую схему, наи-более просто и полно интерпретирующих фактический материал. Тем не менее, не следует забывать, что (как отмечал А. Эйнштейн) соответствие теории опыту есть необходимое, но не достаточное условие. При чисто тео-ретических построениях большое значение имеет правильность, фундамен-тальность исходных положений (основных понятий), логичность и полнота.

Построение модели, как уже отмечалось, - процедура всегда нефор-мальная, неоднозначная, значительно зависящая от знаний, опыта, интуиции и даже пристрастия исследователя. Тем не менее, отметим два обстоятель-ства, которые являются обязательными: от исследователя требуется глубокое знание моделируемого объекта (явления, процесса) и хорошее владение математическими методами.

Успешно решив неформальную сторону, можно переходить к формальному описанию математическими методами. Следовательно, матема-тическая модель – это продукт как формального, так и неформального мышления. В отмеченном смысле неформальная сторона как бы первична, ибо математика делает однозначными, строго обоснованными лишь выводы из начальных посылок. Сами же посылки возникают как обобщение опыта, экспериментов и наблюдений. Поэтому принимаемые посылки должны быть содержательными настолько, чтобы в созданной на их основе модели была закодирована вся интересующая информация об изучаемом процессе (явле-нии или объекте). От качества модели зависит объективность и эффектив-ность исследования. Не случайно существует утверждение, что модель – это в первую очередь концепция, а построение модели – это формулировка концепции.

Современная математика располагает значительным количеством типов моделей для описания изучаемых объектов (процессов и явлений), которые будут описаны ниже. Однако она не располагает правилами для однозначного выбора моделей, а в некоторых случаях и способов их анализа. В выборе типа модели всегда проявляется творчество исследователя, т. к. один и тот же процесс почти всегда можно описать множеством моделей. Поскольку выбор типа математической модели является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования, то для одного и того же процесса часто создают несколько альтернативных моделей, а затем из них выбирают лучше всего отражающую реальность. Выбор типа модели зависит от многих факторов: от природы и уровня изученности объекта, цели исследования и требуемой точности, а также в значительной мере от имею-щихся средств изучения и других факторов. При этом обязательно учитыва-ют цели создания модели, но не забывая, что основная цель математических моделей – систематизация фактов и объяснение их с единой точки зрения, т. е. они являются инструментом создания объективной и точной теории.

Не существует так же и критериев, по которым можно было бы выбрать необходимый вид математического анализа для описания реального процесса или хотя бы судить о приемлемости или не приемлемости отдельных математических методов для описания конкретного процесса. Даже если модель адекватно отражает действительность, то это ещё не является гарантией правильности выбора математического средства для создания модели. Тем не менее, практикой исследовательской работы выработан ряд приёмов, облегчающих выполнение этого ответственного этапа. Вкратце остановимся на них.

В настоящее время способы математического моделирования довольно разнообразны и в самостоятельные виды их выделяют как по природе изучаемых объектов (процессов), так и по используемым математическим средствам.

Все объекты исследования по характеру изменения изучаемых характеристик делят на непрерывные и дискретные. По характеру связи между функциями и аргументами непрерывные процессы делят на детерминированные, вероятностные (стохастические) и нечёткие. По интенсивности протекания процессов среди детерминированных процессов выделяют статические и динамические, а среди вероятностных – стационарные и нестационарные. Дискретные модели делят на функциональные (описывающие поведение, функционирование процессов) и структурные (описывающие строение, структуры).

Для обоснованного выбора типа модели (или моделей) по эксперимен-тальным данным определяют основные общие характеристики изучаемого процесса: непрерывность или дискретность; детерминированность, стохас-тичность или нечеткость, а в случае детерминированности – её степень, линейность или нелинейность, статичность или динамичность.

Анализ информационного массива позволяет установить непрерыв-ность или дискретность исследуемого показателя и объекта в целом: дискретная система может находиться только в определённых состояниях, меняющихся скачкообразно из одного состояния в другое (например, работа различных переключающих устройств, обусловленная алгоритмом их дейст-вия), а непрерывная система меняет свои показатели монотонно, плавно. В непрерывных объектах все сигналы непрерывны по времени, а в дискретных - квантуются по времени и величине. Если же сигналы квантуются только по времени, т. е. представляются в виде импульсов с равной амплитудой, то такие объекты называются дискретно - непрерывными. Выбор между дискретными и непрерывными видами моделей обычно затруднений не вызывает в силу их большого различия. Этот выбор обуславливается природой исследуемого процесса. Для моделирования непрерывных объек-тов можно использовать дифференциальные уравнения, а дискретный объект предопределяет использование аппарата теории автоматов.

Детерминированные (однозначные, динамические) модели являются наиболее распространённым видом математических моделей, применяемых для описания регулярных, упорядоченных процессов, ход которых можно предсказать, зная управляющие ими законы. Для построения детерминиро-ванных моделей необходимо довольно глубокое проникновение в математи-ческую структуру изучаемой системы (процесса). С этой целью выделяют отдельные структурные элементы и изучают их взаимные связи и внутренние влияния. Характер этих элементов и связей между ними определяют вид математических средств (виды математического анализа), пригодные для математического описания (моделирования) системы или процесса. Вопрос о наиболее целесообразных математических средствах из возможных, реша-ется в пользу тех, которые позволяют получить наиболее практичным путём простое и точное математическое описание, ряда других практических требований в зависимости от рода задачи и поставленной цели. Основная часть детерминированных систем и процессов может быть описана и исследована с помощью обычных аналитических или дифференциальных моделей в обыкновенных или частных производных, хотя ими список математических методов, приемлемых для описания детерминированных моделей далеко не исчерпывается.

Вероятностные модели используют для математического описания процессов при значительных погрешностях и (или) значительных случайных воздействиях, но статистически устойчивой картине. Модель может быть создана с применением средств теории вероятностей и её ответвлений (математической статистики, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории очередей и др.). Привлекательность математической статистики состоит в том, что она является основой для создания стан-дартных методов обработки результатов массовых наблюдений, содержащих элементы случайности, и помогает формализовать процесс принятия реше-ний при экспериментальной проверке моделей.

При решении вопроса о целесообразности применения моделей вероят-ностного типа важно проверить объект исследования на стационарность. О стационарности или не стационарности вероятностных объектов судят по изменению во времени параметров законов распределения случайных вели-чин. Чаще всего используют среднее арифметическое М(t_i) и среднее квадра-тическое отклонение случайной величины s_i ( i = 1, 2, …, n) от среднего арифметического и среднего квадратического отклонения во времени.

Из ряда средних арифметических М(t₁), М(t₂), …М(t_i) выбирают мини-мальное значение М(t) и определяют интервалы с границами

М(t_min) + Dx, М(t_mix) - Dx,

где Dx – точность методики измерения исследуемого показателя.

Если значение М(t_i) укладывается в этот интервал, то объект считают стационарным по среднему арифметическому М(t).

Аналогично проверяют стационарность по среднему квадратическому отклонению, а граничные значения s определяют по формулам

s₁ = (D₁/n )^1/2 , s₂ = (D₂/ n )^1/2

где D = { [x_i – (M(t_min) + Dx)] ²}· [1/(n – 1)];

D = { [x_i – (M(t_min) - Dx)] ²}· [1/(n – 1)];

n - число наблюдений.

Если все значения s укладываются в интервал s₁…s₂ , то объект считается стационарным. В противном случае объект определяется как вероятностный нестационарный, даже если величина среднего арифмети-ческого М не меняется во времени.

Линейность устанавливают по характеру статической характеристики процесса, под которой понимают связь между величиной внешнего воздей-ствия (входного сигнала) и максимальной величиной его реакции на это воздействие. Под выходной характеристикой системы понимают изменение выходного сигнала системы (процесса) во времени. Если статическая харак-теристика оказывается линейной, то моделирование объекта осущест-вляют с использованием линейных функций. Нелинейность статической характерис-тики и наличие запаздывания в реагировании объекта на внешнее воздей-ствие является существенным признаком нелинейности объекта. В этом случае для моделирования принимают нелинейную математическую модель.

Если имеют дело с линейной математической моделью, то значительно упрощается её построение и анализ, т. к. такая модель позволяет пользовать-ся принципом суперпозиции. Суть его состоит в том, что при одновременном действии на линейную систему нескольких входных сигналов каждый из них оказывает на систему своё влияние независимо от других сигналов, а общий выходной сигнал линейной системы складывается из реакций на каждый входной сигнал. В этом случае имеют дело с функцией нескольких перемен-ных.

Статичность или динамичность детерминированной системы определя-ют по поведению выходных показателей во времени: если среднее арифмети-ческое значение выходного сигнала на разных (но равных) отрезках времени не выходит за допустимые пределы, определяемые точностью измерений исследуемого показателя, то это свидетельствует о статичности системы. Применительно к вероятностным системам их статичность устанавливают по изменчивости уровня её относительной организации. Если изменчивость это-го уровня не превышает допустимые пределы, то система считается статиче-ской.

Выбор отрезков времени, на которых испытывают систему на статич-ность и динамичность может значительно повлиять на результат. Если объ-ект на малых отрезках времени оказался статичным, то при переходе к значительным временным интервалам результат не изменится, но статич-ность, установленная на крупных интервалах времени, может перейти в динамичность.

Важную роль при выборе типа модели играют цели и задачи исследования. Для решения практических задач обычно применяют простые математические методы, а при фундаментальных - более сложные. Опреде-лённые указания на тип модели можно получить из анализа предыдущих теоретических и экспериментальных исследований других авторов. Деление факторов на зависимые и независимые, входные и выходные переменные, предварительный поиск взаимосвязи между различными данными выборки так же способствует (а иногда позволяет) определить адекватный математи-ческий аппарат.

Учёт целей и задач математического моделирования, характера гипоте-зы и анализа информационного массива позволяет в выбранном классе моде-лей определить наиболее подходящий вид, что составляет третий этап математического моделирования. Этот этап связан с заданием допустимых областей исследуемых параметров и зависимостей между ними. Для коли-чественных параметров зависимости задаются в виде систем (алгебраических или дифференциальных) уравнений, а для качественных – используются табличные способы задания функций. Если параметры определяются противоречивыми зависимостями, то определяют их весовые коэффициенты, выраженные в долях единицы или баллах. Тем самым противоречивые зависимости переводятся в вероятностные.

Для математического описания сложных объектов с большим количеством факторов возможно разбиение объекта на подсистемы, установление иерархии факторов и описание связей между ними.

При выборе математической модели особое место занимает описание преобразования входных сигналов в выходные характеристики объекта. Если установлено, что объект является статическим, то функциональную модель строят простейшими алгебраическими уравнениями, их системами или средствами регрессионного анализа. Если заранее известен характер измене-ния исследуемого показателя, то число возможных видов алгебраических моделей резко сокращается и предпочтение отдаётся той формуле, которая выражает наиболее общую зависимость или общеизвестный закон. Когда характер изменения исследуемого показателя заранее неизвестен, то ставится специальный эксперимент, по данным которого предпочтение отдаётся мате-матической формуле, наилучшим образом отражающей экспериментальные результаты.

Экспериментальные данные и априорная информация позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотноше-нию входных и выходных характеристик. Здесь возможны четыре схемы взаимодействия:

1.одномерно-одномерная схема – на объект действует один фактор, вызывающий изменение одного показателя (один выходной сигнал);

2. одномерно-многомерная схема – на объект действует один фактор, а он вызывает изменение нескольких показателей;

3. многомерно-одномерная схема – на объект действует несколько факторов, которые вызывают изменение одного показателя;

4. многомерно-многомерная схема – на объект действует много факторов, которые вызывают изменение многих других факторов.

При первой схеме взаимодействия статического стационарного детер-минированного объекта с внешней средой постоянное входное воздействие связывают с постоянным выходным показателем через постоянный коэффи-циент. Если же этот объект является нестационарным, то указанная связь описывается различными функциями вида y = f(x). Наиболее универсальной функцией в этом случае является полином, количество членов которого определяется степенью нелинейности по экспериментальному материалу.

В случае многомерно-одномерной схемы статический стационарный детерминированный объект описывается следующими моделями:

при равнозначности внешних воздействий

;

при неравномерности внешних воздействий

,

где а_i – постоянный коэффициент:

m – число внешних воздействий (факторов).

Для статического нестационарного объекта (при той же схеме взаимо-действия) часто используют модель в виде полного степенного полинома:

,

где m₁, m₂ – число парных и тройных сочетаний факторов (m₁= С_m²;m₂ = С_m³).

При одномерно-многомерной схеме статический стационарный и нестационарный объекты описываются аналогично одномерно-одномерной схеме взаимодействия статического стационарного объекта с внешней средой. При этом определяют отдельно математические модели входного фактора с каждым выходным сигналом. Выходные сигналы считаются независимыми.

Многомерно-многомерное взаимодействие сводится к многомерно-одномерному и математическую модель объекта принимают аналогичной изложенной выше. Для нестационарного одномерно-одномерного (многомер-ного) взаимодействия алгебраические функции могут представлять собой решение дифференциальных уравнений. При этом необходимо рассматри-вать производные математического ожидания по переменному фактору.

Математическая модель динамического объекта может быть построена как в классе алгебраических функций, так и дифференциальных уравнений. Однако алгебраические уравнения не позволяют в математическом описании учесть влияние входных воздействий на динамику выхода без существенной перестройки самих алгебраических функций (как структуры, так и коэффи-циентов). Дифференциальные уравнения таким недостатком не обладают.

Если интересующие исследователя переменные являются только функ-цииями времени, то для моделирования используют обыкновенные диффе-ренциальные уравнения. Если же переменные являются также функциями пространственных координат, то для описания таких объектов приходится прибегать к дифференциальным уравнениям в частных производных. Мето-дика моделирования динамических систем дифференциальными уравнени-ями существенно зависит от схемы взаимодействия объекта со средой и степени знания входа и выхода объекта.

Рассмотрим случай, когда формы входного и выходного сигналов известны.

При одномерно-одномерном и одномерно-многомерном взаимодейст-вии детерминированного объекта со средой структура дифференциального уравнения определяется по виду выходной характеристики объекта для типового входного воздействия (например, ступенчатого).

Наиболее простая выходная характеристика объекта – линейная. Такое изменение выхода определяется решением дифференциального уравнения

dy/dt = kx, y₀ = 0,

где k > 0 – коэффициент размерности и пропорциональности;

y₀ - начальное значение выходного сигнала;

t – время.

Если y₀ ≠ 0, то выходная характеристика объекта меняется, но дифференциальное уравнение остаётся неизменным.

Более сложный вид реакции объекта на ступенчатое входное воздействие и может быть описан полным однородным дифференциальным уравнением первого порядка:

dy/dt + a₀·y = kx, y(0) = y₀ ,

где a₀ – коэффициент дифференциального уравнения.

В этом случае в качестве математической модели объекта используют дифференциальное уравнение второго порядка:

d²/dt² + a_1·dy/dt + a₀·y = kx, y(0) = y₀ .

Рассмотренные виды математических моделей соответствуют постоян-ному входному воздействию (x = const). Если входные воздействия являются функциями времени, то в приведённых дифференциальных уравнениях меняются правые части на x = f(t).

При многомерно-одномерном взаимодействии динамические модели для детерминированного объекта также ищут в виде дифференциальных уравнений. При этом допускают, что входные факторы являются независи-мыми по их действию на объект. Все факторы приводят к сумме коэффици-ентами чувствительности в правой части дифференциального уравнения, а тип дифференциального уравнения подбирают по виду выходной характе-ристики объекта.

Если действия факторов зависимы, то предварительно устанавливают влияние каждого из факторов на выходной показатель объекта и по виду выходных характеристик подбирают соответствующее дифференциальное уравнение. При одновременном действии факторов полагают, что выходная характеристика объекта представляет собой сумму решений независимых дифференциальных уравнений, соответствующих каждому фактору.

Для многомерно-многомерного взаимодействия построение динамиче-ских моделей может быть сведено к многомерно-одномерной схеме взаимо-действия.

При отсутствии априорной информации о входе и выходе объекта дифференциальные уравнения, моделирующие объект, составляют на основе предположений или знаний о свойствах и структуре объекта.

Сложные системы иногда моделируют несколькими моделями, допол-няющими друг друга. Типы моделей в подобных случаях не обязательно должны быть одинакового типа. При слабой изученности, при недоступности для измерений или измерений с необходимой точностью и т. п. прибегают к созданию даже противоречащих моделей и тем самым инициируют более интенсивное развитие интересующего вопроса, а объективность и точность конкурирующих моделей выявляет в ходе исследований с применением прямых и косвенных экспериментов.

Проиллюстрируем отмеченное простыми примерами. Так, для изуче-ния траекторий скважин могут быть выбраны только вероятностные модели, ибо форма их зависит от большой совокупности причин, одни из которой действуют закономерно, другие искажают закономерное искривление.

Напомним, что выбор типа модели зависит от многих факторов: от природы и уровня изучаемого объекта, цели исследования и требуемой точности, а также в значительной степени от имеющихся средств изучения и ряда других факторов.

Каждая математическая модель создаётся с какой-то определённой целью, но основная её цель – систематизация фактов и объяснение их с единой точки зрения, т. е. быть инструментом в создании объективной и точной теории. Основной чертой теории, как известно, является возможность предсказывать (прогнозировать) новые факты и модель должна быть с момента её создания ориентирована на это. Преследуемая цель тесно связана с адекватностью и точностью модели. Точность модели определяется требо-ваниями, предъявляемыми к исследованию и соответствием предсказывае-мых моделью результатов фактическим.

Не менее поучительным является современное представление о форме бурильной колонны в скважине и её модели, принимаемой для прочностных расчётов. Достоверно установлено, что буровая колонна, состоящая из труб одного диаметра и работающая в скважине с постоянным поперечником, принимает форму спирали с шагом, уменьшающимся к забою. Если скважина имеет переходы с одних диаметров на другие, а тем более, если колонна выполнена из труб разных диаметров и толщин стенок, то форма бурильной колонны будет ещё сложнее. Однако математическую модель колонны таких конфигураций получить не удаётся из-за больших математи-ческих сложностей и поэтому приходится довольствоваться математической моделью плоско искривлённой колонны. Таким образом, выбор математи-ческой модели может ограничиваться не только экспериментальными, но и аналитическими средствами.

При определении объёма ствола скважины сталкиваемся с другой ситуацией. Объём ствола скважины, пробуренной в твёрдых породах алмазным способом, целесообразно определять как объём цилиндра, равного диаметру буровой коронки и длине скважины. Если же скважина пробурена в сравнительно мягких размываемых породах, то приведённый способ не даст необходимой точности из-за размыва стенок скважины, к тому же всегда неравномерного. Для того, чтобы учесть расширение скважины, следует в нескольких сечениях измерить фактический диаметр скважины и по результатам измерений определить поправочных коэффициент, точность которого будет тем выше, чем по большему количеству измерений он определён. Максимальной точности можно добиться в результате кавернометрических измерений всего ствола скважины. По кавернограмме можно определить наиболее вероятный средний диаметр скважины, а дальше действовать по приведённому алгоритму. Таким образом, в первом случае модель объёма скважины будет детерминированной, а во втором – вероятностной, и обусловлен такой выбор характером боковой поверхности скважины, стремлением получить результат с высокой точностью и наличием (или отсутствием) каверномера.

Таким образом, для обоснованного выбора типа математической модели в первую очередь необходима достаточная изученность исследуемой системы (процесса, объекта) и выявление её математической структуры.

Выбор математической модели объекта заканчивается её предваритель-ным контролем. Основные виды контроля следующие.

1. Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковых размерностей.

2. Контроль порядков направлен на упрощение модели: определяют порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасывают.

3. Контроль характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из математической модели, должны соответствовать физическому смыслу задачи.

4. Контроль экстремальных ситуаций. Определяют смысл решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.

5. Контроль граничных условий. Проверяют соответствие математиче-ской модели граничным условиям, вытекающим из смысла задачи: действии-тельно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и удовлетворяет этим условиям найденная функция.

6. Контроль математической замкнутости: проверяют, даёт ли математическая модель однозначное решение.

7. Контроль физического смысла. Проверяют физическое содержание промежуточных соотношений, использованных при выводе математической модели.

8. Контроль устойчивости модели. Проверяют, не происходит ли существенное изменение решения при варьировании исходных данных в положенных пределах.