2. Типы математических моделей и их выбор

2.1. Построение научной теории и место в нём математических моделей

Под наукой понимают сферу деятельности, цель которой – получение и накопление опытных данных об окружающем нас мире, систематизацией этих данных, обобщением их на основе теории. Перед научной теорией стоят две задачи: объяснять соотношения между фактами и предсказывать (прогнозировать) новые явления (или факты) на основе теории. Если объяснение подтверждается другими фактами, а предсказания теории оправдываются, то теорию можно считать правильной. Модель при создании теории должна быть с момента её создания ориентирована на это, а преследуемая цель тесно связана с адекватностью и точностью модели. Точность модели определяется требованиями, предъявляемыми к исследо-ванию и соответствием предсказываемых моделью результатов фактическим.

Тогда что же такое модель, а тем более математическая. Модель – это искуственно созданный объект, отражающий свойства, характеристики и связи оригинала, существенные для решения поставленной задачи. В модели отражают лишь стороны, существенные для исследования и намеренно затушевывают, упрощают или даже искажают, опускают второсте-пенные свойства. Иногда создают модели, которые отражают свойства, связи и состояния, оригинала лишь в области его параметров, соответствую-щих поставленной цели, благодаря чему добиваются значительного упроще-ния модели. В то же время в выбранной области и по выбранным характерис-тикам математическая модель должна адекватно отражать изучаемый объект (процесс), т. е. правильно описывать с качественной и количественной стороны. Поэтому построение математической модели - процедура в первую очередь неформальная и неоднозначная, зависящая от возможностей иссле-дователя, его знаний, опыта и умений вникать в тонкости моделируемого процесса (объекта) и в определённой мере от интуиции.

Всё это делается для того, чтобы, с одной стороны, понять, как устроен окружающий нас мир, а с другой - использовать полученные знания для блага человека. Развитие науки происходит за счёт постановки всё новых и новых экспериментов, проверки предсказаний теории. Кроме того, наука развивается за счёт обмена научными знаниями и их обсуждения на всевоз-можных семинарах, конференциях, публикации материалов в различных журналах, особенно в рецензируемых и т. п.

Обилие исходного фактического материала ещё не представляет собой истинного знания, оно скорее представляет собой склад заготовок. Знание рождается в результате обобщения фактического и теоретического матери-ала. Оно не может быть полноценным без стержневой (основополагающей) идеи, на которой все факты укладываются в стройную систему, а составные части, которой взаимосвязаны и взаимообусловлены. Такие идеи рождаются на базе анализа наблюдений, экспериментов и теоретических разработок. Комплекс гипотез (или одна фундаментальная), позволяющие построить теорию процесса называются концепцией (иногда называют и по-другому). Вообще, концепция – это определённый способ понимания и трактовки какого-либо предмета, явления, процесса; основная точка зрения на предмет или явление; руководящая идея для их систематического освещения; ведущий замысел в конструкции или научной работе.

В своё время А. Эйнштейн применительно к теоретической физике отметил: «Для применения своего метода теоретик в качестве фундамента нуждается в общих предположениях, так называемых принципах, исходя из которых он может вывести следствия. Его деятельность, таким образом, разбивается на два этапа. Во-первых, ему необходимо отыскать эти самые принципы, во-вторых развить из этих принципов следствия». Математиче-ские модели этих принципов и есть фундаментальные модели, а следствия из них – прикладные математические модели. Следовательно, математические модели в первую очередь имеет смысл разделить на фундаментальные и прикладные. На этих этапах роль математических методов (особенно численных и ЭВМ) довольно различна, но в любом случае, чем глубже уровень познания, тем шире используются математические средства.

Каждая отрасль науки имеет свои теоретические законы и положения. Далее развитие происходит путём анализа следствий из этих фундаменталь-ных положений, их сопоставлений с экспериментальными данными. Фунда-ментальные модели не могут быть выведены из эксперимента, но они могут быть им подсказаны. В то же время следствия из фундаментальных положе-ний (т. е. прикладные модели) должны сопоставляться с экспериментом, а результаты сопоставления служат критерием пригодности фундаментальной модели. Возникновение новой фундаментальной модели ведёт к пересмотру основных законов и самого теоретического фундамента этой отрасли знания. До создания фундаментальной идеи исследования носят разрозненный, не упорядоченный характер, а полученные в результате таких исследований материалы не представляют собой единого, взаимосвязанного и надёжного комплекса знаний, но они объективно необходимы для зарождения фунда-ментальной идеи и соответствующей модели. Создание такой модели играет направляющую и организующую роль для дальнейших исследований, иссле-дования становятся более планомерными и приобретают систематический характер. При создании фундаментальных моделей (особенно при их сравнении) определённую помощь могут оказать чисто математические соображения. В высоко математизированных областях знания далеко не последнюю роль играют соображения простоты, красоты и даже изящества математических моделей.

Современное развитие фундаментальной науки и техники характеризу-ется постоянным ростом сложности фундаментальных моделей, приводящих к более сложным, но и более точным прикладным математическим моделям. Однако ситуация не становится безнадёжной, т. к. постоянно совершенст-вуются и расширяются научные методы и вычислительная техника.

Гипотезы, концепции, предположения, догадки, факты и эксперимен-тальные сведения формируют систему взглядов на изучаемый процесс (сис-тему), которые на данный момент считаются истиной. Систему вырабо-танных концепций называют парадигмой. Парадигма в науке – это модель постановки и решения проблем в конкретной области знания, принятая в качестве образца. Становление парадигмы – процесс длительный и часто очень сложный. Сформированная парадигма указывает на целесообразные направления исследований, способы и методы всестороннего изучения про-цессса, но лишь до момента, когда ещё не требуется её замена более прог-рессивной. Чаще бывает разрушить старую парадигму труднее, чем её создать, что объясняется многими причинами. Преодолеть положения старой концепции и парадигмы бывает очень сложно даже маститым учёным, владеющим новыми, значительно более правильными концепциями. Иногда из-за боязни осуждения в учёном мире. Так, исследования и опыты по физике знаменитого учёного Г. Кавендиша, которые на десятилетия опередили современную ему научную мысль, автор не решился опубликовать. Тоже произошло с основами неевклидовой геометрии, которыми К. Гаусс владел задолго до опубликования их Н. И. Лобачевским и Я. Бояи. Разве не то же произошло с руководителями СССР, когда китайцы рекомендовали им отступить от прежних застарелых социалистических устоев, а теперь пожинаем плоды.

Всякое неожиданное открытие или даже простое получение необычных фактов в мире науки, будоражит его, заставляет учёный мир по иному взглянуть на давно известные факты, выстроенные на их основе гипотезы, а порою и даже парадигму. О необходимости и своевременности такой переоценки не следует забывать, даже в области политики, хотя в ней сложнее, чем в науке.