Примерные вопросы к государственному экзамену по специальности

I часть (математика)

1. Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений. Методы решения.

2. Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля. Основные свойства. Примеры.

3. Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.

4. Линейные пространства, подпространства. Примеры. Свойства пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.

5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.

6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.

7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.

8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.

9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.

11. Операции над векторами векторного пространства V₃. Векторный метод в решении геометрических задач.

12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.

14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.

15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.

16. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

17. Двойные интегралы, их определение и сведение к повторным. Некоторые приложения двойных интегралов.

18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.

19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.

20. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.

21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.

22. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные типы уравнений первого порядка и методы их решения. Линейные уравнения n-го порядка.

23. Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.

24. Коды постоянной и переменной длины, примеры их использования. Принцип работы архиватора.

25. Задача потребительского выбора и ее решение.

26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.

27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.

28. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.

29. Задачи линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.

30. Нелинейное программирование. Методы решения задач.