Программа государственного экзамена по специальности

Часть 1. Математика

Системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных (метод Гаусса). Применение определителей к решению систем линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

Группа. Примеры групп. Свойства группы. Подгруппы. Нормальные делители. Фактор группа. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Теорема о гомоморфизмах.

Кольцо. Примеры колец. Свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Поле. Простейшие свойства поля. Примеры полей. Числовые поля.

Определители квадратных матриц, их свойства. Методы вычисления определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

Векторное (линейное) пространство. Подпространство. Критерий подпространства. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Конечномерные пространства. Базис и размерность конечномерного пространства.

Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Прямая сумма. Изоморфизмы векторных пространств.

Линейные операторы. Примеры. Действия над линейными операторами. Матрица линейного оператора. Связь матриц линейного оператора в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства. Характеристический многочлен. Операторы с простым спектром.

Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность. Корни многочленов. Теорема Безу и схема Горнера. Результант двух многочленов. Применение результанта к решению систем уравнений.

Поле комплексных чисел. Числовые поля. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

Линии второго порядка, их канонические уравнения. Уравнение в полярных координатах. Общее уравнение линии 2-го порядка, его приведение к каноническому виду. Классификация линий. Фокусы, директрисы, асимптоты.

Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка

Векторы. Операции над векторами векторного пространства V₃. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы и координаты векторов в различных базисах. Многомерные векторные пространства и подпространства. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Векторный метод в решении геометрических задач.

Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Основные свойства непрерывных функций на отрезке.

Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.

Определенный интеграл, его свойства. Условия интегрируемости: необходимые, достаточные. Основная формула интегрального исчисления.

Числовые ряды и их классификация. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.

Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

Двойные интегралы, их определение и сведение к повторным. Некоторые приложения двойных интегралов.

Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.

Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости. Представление основных элементарных функций в виде степенного ряда.

Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные ортонормированные системы. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и ее замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье. Операции над рядами Фурье.

Уравнения в частных производных. Порядок и решение уравнения. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные типы уравнений первого порядка и методы их решения. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения. Метод вариации постоянной. Линейные уравнения n-го порядка.

Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Отношение равномощности и понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.

Коды постоянной и переменной длины, принципы их использования. Принцип работы архиватора.

Задачи оптимизации в экономике. Метод Лагранжа. Задача потребительского выбора и ее решение.

Предельные показатели в микроэкономике. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.

Производственная функция. Максимизация прибыли. Закон убывающей эффективности производства.

Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.

Задачи линейного программирования. Элементы двойственности в линейном программировании и основная теорема двойственности. Прямые методы в линейном программировании. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.

Нелинейное программирование. Методы решения задач.