БФИ 19-01 / ИП / Лаб№6

Подставляя (10) в уравнение (9), приходим к уравнению

l

A

А

хx

ll

F

z z

x

mg

Рис. 3. Колебания математического маятника: x – угол отклонения шарика от положения равновесия в момент времени t; А – амплитуда колебаний (наибольшее смещение от положения равновесия); l – длина нити; m – масса шарика; g – ускорение свободного падения; F – сила упругости нити

Уравнение, подобное (12), носит название уравнения гармонического осциллятора. Решение этого уравнения имеет вид уравне-

ния (8):

x = Аcos(ωt + ϕ0 ) ,

где A – амплитуда колебаний (см. рис. 3); ϕ0 – начальная фаза колеба-

риода колебаний математического маятника имеем:

11

Таким образом, зная величину l и измерив T, можно найти ускорение свободного падения.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Измерения проводятся с помощью модульного учебного комплекса МУК-М1, предназначенного для проведения лабораторных работ по механике из курса общей физики.

В данной лабораторной работе используется часть комплекса, содержащая колонну, установленную на основании, сверху которой закреплен барабан, состоящий из малого и большого шкива (рис. 4). Нить, на которой подвешена подставка для груза, наматывается на малый шкив барабана, и фиксируется при помощи крючка на большом шкиве. Массу груза можно увеличить, помещая на подставку большие и малые дополнительные грузы. Масса груза подставки, дополнительных грузов и другие характеристики элементов маятника с их погрешностями указаны на основании экспериментальной установки.

Большойшкив

Рис. 4. Схема экспериментальной установки

12

На колонну нанесена шкала для измерения высоты подвеса груза h, зная которую, можно найти длину l нити подвеса груза:

где hmax – высота точки крепления нити на барабане. Однако определить таким образом длину нити l можно лишь приблизительно, так как невозможно достаточно точно найти положение центра тяжести груза и высоту точки крепления нити hmax.

С большей точностью можно найти изменение длины нити, которое зависит от диаметра малого шкива барабана, измеренного с меньшей погрешностью. При наматывании на шкив длина l нити подвеса с каждым оборотом уменьшается на величину длины окружности шкива. Если нить обернута n раз вокруг малого шкива с диаметром d, то ее длина уменьшится относительно максимальной на величину δl:

Найдя максимальную длину нити по формуле lmax = hmax – hmin, можно рассчитать длину нити при ее наматывании на малый шкив:

Для измерения периода колебаний T нужно включить секундомер установки кнопкой «Сеть» на лицевой панели, а затем переключить его в режим 3, нажимая кнопку «Режим» до тех пор, пока не загорится индикаторная лампа «Режим 3». После этого следует вывести груз из положения равновесия на небольшой угол 5…10° и отпустить его, одновременно нажав кнопку «Пуск» секундомера. Отсчитав 10 полных колебаний, нужно нажать кнопку «Стоп/Сброс» секундомера. Записав полученное время Tизм, можно рассчитать период колебаний по формуле T = Tизм/10. Перед повторными измерениями необходимо сбросить счетчик секундомера кнопкой «Стоп/Сброс». После завершения измерений секундомер установки нужно выключить.

Согласно формуле (13) период колебаний T и длина нити l маятника связаны нелинейной зависимостью. Для линеаризации результатов измерений их удобно представлять в виде точек на графике, по осям которого отложены длина нити l и квадрат периода колебаний T 2 (рис. 5).

Из формулы (13) можно выразить ускорение свободного падения g:

13

где δT 2 – разность квадратов периодов колебаний для двух измерений при длинах нити, отличающихся на δl.

С помощью метода наименьших квадратов се экспериментальные точки можно аппроксимировать в линейной зависимостью

Коэффициенты а и b можно определить по формулам (4), приняв x = l и y = T 2. Найденный коэффициент а соответствует тангенсу угла наклона прямой к оси l. С учетом этого формула (17) примет вид

Точка, в которой график зависимости (19) пересекает ось l, может быть смещена относительно начала координат на величину систематической ошибки измерения длины нити подвеса.

14

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с описанием экспериментальной установки

ипринципом ее работы.

2.Установить минимальное значение массы груза. Установить

иизмерить максимальную длину нити lmax. В соответствии с описанием экспериментальной установки провести измерение периода ко-

лебаний Tm0. Для этого включить секундомер МУК-М1 и переключить его в режим 3, после чего отклонить груз на небольшой угол 5…10°

иотпустить его, одновременно запустив секундомер. Отсчитать 10 полных колебаний и остановить секундомер. Записать полученное время Tизм и рассчитать период колебаний по формуле T = Tизм/10.

3.Увеличивая массу груза с помощью дополнительных грузов, измерить соответствующие периоды колебаний Tm1… Tmn. Убедиться в том, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

4.Оставить максимальное значение массы груза. Изменяя длину нити путем наматывания ее на малый шкив, повторить измерения пе-

риода колебаний маятника Ti для трех разных длин нити. Занести полученные значения в таблицу, включая значения для максимальной длины нити.

Изменение периода колебаний от изменения длины нити при максимальной массе груза

По окончании измерений выключить секундомер и привести установку в исходное состояние.

5.Рассчитать по формуле (16) длину нити в столбце 2 таблицы

иостальные значения в столбцах 4–9.

6.Используя результаты измерений для одной из длин нити из таблицы, по формуле (17) найти ускорение свободного падения g

иего погрешность.

15

7.По формуле (18) рассчитать ускорение свободного падения g

иего погрешность для результатов измерений при двух разных длинах нити из таблицы.

8.Приняв x = l и y = T 2 и используя данные из таблицы, по формулам (4) с помощью МНК вычислить значения коэффициентов а и b аппроксимирующей функции (19). Рассчитать среднеквадратичные отклонения найденных коэффициентов по формулам (5), (7) с использованием данных из столбцов 8 и 9 таблицы. Умножив полученные среднеквадратичные отклонения на коэффициент Стьюдента, вычис-

лить погрешности а и b коэффициентов МНК.

9.По результатам измерений и расчетов построить график функ-

ции T 2 = f (l).

10.По формуле (20) рассчитать ускорение свободного падения g

иего погрешность.

11.Провести анализ полученных результатов. Для этого сравнить между собой значения ускорения свободного падения, полу-

ченные в пп. 6, 7 и 10 с учетом их погрешностей. Указать, какие значения получились более точными и почему. Сравнить получен-

ные значения с известным значением ускорения свободного падения

(gтеор = 9,807 м/с2).

12. Сделать выводы и оформить отчет по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Дайте определение понятия «аппроксимация функции».

2.В чем заключаются основные принципы метода наименьших квадратов?

3.Выведите формулы для расчета коэффициентов метода наименьших квадратов.

4.Напишите формулы для нахождения погрешностей коэффициентов метода наименьших квадратов.

5.Какие виды колебаний вы знаете?

6.Дайте определение понятий «амплитуда», «период», «частота», «фаза», «начальная фаза», «смещение колебаний».

7.Дайте определение понятия «математический маятник».

8.Получите уравнение колебаний (12) математического маятника из второго закона Ньютона.

16

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Измерение времени реакции человека : метод. указания к выполнению лаб. работы по курсу «Измерительный практикум» для студентов направления подготовки 011200.62 «Физика» очной формы обучения / сост.: О. П. Вайтузин, Е. П. Пьяновская ; Сиб. гос. аэрокосм. ун-т. – Красноярск, 2012. – 16 с.

2.Модели и концепции физики: механика : лаб. практикум / М. Г. Гладуш, А. В. Гуденко, Ю. Н. Извекова и др. ; Моск. физ.-техн.

ун-т. – М., 2011. – 49 с.

3. Модульный учебный комплекс МУК-М1 «Механика 1» по курсу «Физика» [Электронный ресурс] / ООО «Опытные приборы». – Электрон. дан. – Режим доступа: http://opprib.ru/main/labor/html/complex/muk-m1.php. – Загл. с экрана.

4.Сивухин, Д. В. Общий курс физики : учеб. пособие для вузов. Т. I : Механика / Д. В. Сивухин. – 4- е изд., стер. – М. : Физматлит, 2002. – 560 с.

5.Степанов, М. М. Аппроксимация функций : метод. указания к лаб. работам по дисциплине «Информатика» / сост.: М. М. Степанов, Н. Н. Потапова, Т. В. Ерещенко ; Волгоград. архит.-строит. ун-т. – Волгоград, 2012. – 34 с.

6.Фадеев, М. А. Экспериментальная обработка результатов эксперимента : учеб. пособие / М. А. Фадеев. – Н. Новгород : Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2002. – 108 с.

17

Учебно-методическое издание

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В ИЗУЧЕНИИ СВОЙСТВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Методические указания

Составители: Вайтузин Олег Петрович Пьяновская Елена Петровна

Паршин Анатолий Сергеевич

Редактор Е. Г. Некрасова

Оригинал-макет и верстка Е. С. Завьяловой

Подписано в печать 27.02.2015. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 100 экз.

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 24.49.04.953.П.000032.01.03 от 29.01.2008 г.

Редакционно-издательский отдел Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та. Отпечатано в отделе копировально-множительной техники Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та.

660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31.

18