2.2. Двоично-десятичная арифметика

Десятичная система счисления (10 СС) по критерию удобства работы человека с ЭВМ стоит на первом месте. При её использовании отпадает необходимость преобразования входной десятичной информации в двоичную систему счисления (2 СС), а результатов решения – обратно в 10СС. При решении научно-технических задач, характеризуемых сложными вычислениями и относительно небольшими объёмами входной и выходной информации, время на выполнение этих преобразований невелико.

Однако, планово-экономические задачи характеризуются относительно несложными вычислениями и огромными объёмами входной и выходной информации, что требует больших затрат машинного времени на преобразование данных из 10 СС в 2 СС и обратно. При решении таких задач целесообразно минимизировать время на эти преобразования и использовать специальные двоично-кодированные десятичные системы счисления (2-10 СС).

В таких системах десятичные цифры кодируют двоичными кодами. Минимальное количество двоичных разрядов для кодирования десяти цифр – четыре разряда (тетрада). Однако, тетрада обеспечивает 16 различных двоичных комбинаций, а для кодирования цифр надо взять лишь десять. Поэтому рациональный выбор кодов десятичных цифр потребовал разработки требований к 2-10 кодам.

1. Основные требования к двоично-десятичным кодам.

1. Однозначность соответствия пары «десятичная цифра - двоичная тетрада». Это позволяет обеспечить эффективность процессов кодирования – декодирования.

2. Упорядоченность пар: большим десятичным цифрам должна соответствовать большая тетрада (или наоборот). Этим обеспечивается эффективность операции сравнения чисел.

3. Чётным десятичным цифрам должны соответствовать чётные тетрады (или наоборот). Этим обеспечивается эффективность операции округления и большая простота выполнения некоторых арифметических операций.

4. Самодополняемость любой тетрады, то есть замена всех двоичных цифр исходной тетрады на обратные ( 0-1 и 1-0) должна привести к тетраде, изображающей другую десятичную цифру, являющуюся для исходной дополнением до девяти (старшей цифры 10СС ). Этим обеспечивается эффективность операции алгебраического сложения.

5. Весомозначность кода, то есть однозначность веса каждого разряда двоичной тетрады. Этим обеспечивается эффективность выполнения всех арифметических и логических операций над двоично-десятичными числами.

В данном методическом пособии будут рассмотрены три тетрадных 2-10 кода: код с естественными весами или код прямого замещения 8-4-2-1; код с избытком три 8-4-2-1+3; код Айкена 2-4-2-1. В приведённых выше наименованиях кодов наряду со словесным названием даны краткие числовые наименования каждого кода, в которых указаны веса двоичных разрядов в каждой двоично-десятичной тетраде, начиная со старшего разряда.

Кроме того, будет рассмотрен один пентадный двоично-десятичный код 3а+2. В таблице 1 схематически представлено расположение трёх тетрадных кодов на полной упорядоченной совокупности двоичных тетрад.

Таблица 1.

0 0 0 0	0 0 0 1	0 0 1 0	0 0 1 1	0 1 0 0	0 1 0 1	0 1 1 0	0 1 1 1	1 0 0 0	1 0 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 1 1 0	1 1 1 1	Упорядоченная совокупность двоичных тетрадных кодов
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9							Код 8-4-2-1
			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9				Код 8-4-2-1+3
0	1	2	3	4							5	6	7	8	9	Код 2-4-2-1