4.2. Закон распределения дискретной случайной величины

Для того, чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, необходимо знать ее значения и вероятности появления этих значений. Если известны возможные значения дискретных случайных величин и вероятности их появления, то говорят, что задан закон распределения этих случайных величин, или ряд распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины записывают в виде таблицы:

			…		причем .
			…

Графическое изображение дискретной случайной величины

По оси абсцисс откладывают возможные значения переменной , а по оси ординат – соответствующие вероятности и соединяют для наглядности полученные точки отрезками (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Полигон распределения

В итоге получают полигон распределения или многоугольник распределения.

4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства

Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства

Характеристикой среднего значения случайной величины является математическое ожидание. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности .

Пусть задан ряд распределения случайной величины :

			…		...
			…		...

Обозначим математическое ожидание случайной величины , тогда получим:

. (4.1)

Математическое ожидание часто называют центром распределения, так как оно характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: , где .

Доказательство.

Пусть распределение вероятностей случайной величины задано в виде таблицы:

			…
			…

Тогда , поскольку .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство.

Пусть распределение вероятностей случайной величины задано в таблице:

			…
			…

Тогда .

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

Доказательство.

Пусть и случайные величины с законами распределения:

			…						…
			…						…

Тогда распределение случайной величины будет:

			…				...
			…				...

Действительно, обозначим события: ; . Для того, чтобы произошло событие , необходимо, чтобы произошло и событие , и событие , то есть .

Тогда

.

.

и , так как значения и значения образуют полную группу событий и соответственно.

Следствие 1. Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий:

.

Доказательство.

.

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Следствие 2. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: .

Доказательство.

.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство.

Пусть и случайные величины с законами распределения:

			…						…
			…						…

Найдем закон распределения случайной величины :

			…				...
			…				…

Действительно, если события ; , то событие , то есть .

.

Пример 1. В лотерее билетов. На билетов нет выигрыша, на билетов можно выиграть гривну, на билетов выпадает выигрыш по гривны, на 15 – по 3 гривны, на 10 – по 5 гривен и на 10 – по 10 гривен. Необходимо найти математическое ожидание выигрыша.

Решение.

Ряд распределения случайной величины – размер выигрыша в лотерее – имеет вид:

	0	1	2	3	5	10
	0,2	0,25	0,2	0,15	0,1	0,1

.

Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства

Характеристикой степени рассеяния случайной величины около ее математического ожидания является дисперсия.

Дисперсией дискретной случайной величины есть матема-тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания, то есть:

. (4.2)

Преобразуем формулу (4.2) для вычисления дисперсии.

,

то есть:

. (4.3)

Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат ее математического ожидания.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

, где .

Доказательство.

Пусть , тогда:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате:

.

Доказательство.

Действительно,

.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Доказательство.

По определению дисперсии и на основании свойств имеем:

, ( и ).

4. Дисперсия разности двух случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Доказательство.

.

Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации. Мода, медиана. Начальный и центральный моменты

Среднее квадратическое отклонение является мерой рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины – это квадратный корень из дисперсии, то есть:

. (4.4)

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию, выраженное в процентах:

. (4.5)

Коэффициент вариации дает возможность сравнить степень рассеяния разных по природе случайных величин.

Мода – это значение случайной величины с максимальной вероятностью.

Медиана – это значение случайной величины , которое разделяет ряд распределения пополам.

Начальный момент -го порядка – это математическое ожидание -ой степени величины :

. (4.6)

Так начальный момент первого порядка – это математическое ожидание величины , – математическое ожидание квадрата величины и т. д.

Центральный момент -го порядка – это математическое ожидание -ой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

. (4.7)

Так, ; .

Пример 2. Задан ряд распределения дискретной случайной величины :

	1	2	3
	0,4	0,3	0,3

Найти числовые характеристики величины

Решение.

1. Математическое ожидание:

.

2. Дисперсия:

или

.

3. Среднее квадратическое отклонение:

.

4. Мода: .

5. Медиана: .

6. Коэффициент вариации: .

7. Начальный момент: ; .

8. Центральный момент: ; .

Моменты высшего порядка можно использовать для того, чтобы отдифференцировать влияние больших по величине, но маловероятных значений случайной величины.

Пример 3. Задан ряд распределения дискретной случайной величины :

	1	2	10
	0,5	0,48	0,02

Определить начальные моменты величины

Решение.

.

.

.

.

Момент полностью зависит от значения .

Таким образом, отдифференцировано влияние большого, но маловероятного значения случайной величины.